Trigonométrie Exemples

$\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ . Ainsi, $\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ est $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 3

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 6.5

Évaluez l’exposant.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 8.1

Factorisez $2$ à partir de $x^{2} \cdot 2$ .

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 11

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{x}$

Étape 12

Associez.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $\sqrt{2}$ .

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

Étape 13.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{x}$