Trigonométrie Exemples

$\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ . Ainsi, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$ est $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5.4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 5.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 6

Associez les fractions.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ par $\frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x \cdot x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 7

Développez $(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8

Simplifiez les termes.

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Étape 8.1

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ .

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Étape 8.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ et $\sqrt{(x + 3) (x - 3)} x$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.1.2

Additionnez $- x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ et $x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.1.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.3

Multipliez $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

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Étape 8.2.3.1

Élevez $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.3.2

Élevez $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ à la puissance $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.4

Réécrivez ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ comme $(x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 8.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ comme ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.4.5

Simplifiez

$\sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 3) (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.5

Développez $(x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 8.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 3) + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.6

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

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Étape 8.2.6.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 3$ et $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.6.2

Additionnez $- 3 x$ et $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.6.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.7.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.7.2

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 9)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} - - 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.2.9

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 8.3.1

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.3.2.1

Additionnez $0$ et $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 8.3.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 9

Réécrivez $\frac{3^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{3}{x})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 11

Simplifiez les termes.

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Étape 11.1

Associez.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

Étape 12.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Étape 13

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Étape 14

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Étape 14.2

Élevez $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Étape 14.3

Élevez $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1}}$

Étape 14.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}$

Étape 14.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}$

Étape 14.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ comme $(x + 3) (x - 3)$ .

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Étape 14.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ comme ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 14.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{1}}$

Étape 14.6.5

Simplifiez

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{(x + 3) (x - 3)}$