Trigonométrie Exemples

$\sin (\arccos (\sqrt{\frac{3}{2}}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{1^{2} - {\sqrt{\frac{3}{2}}}^{2}})$ , $(\sqrt{\frac{3}{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arccos (\sqrt{\frac{3}{2}})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{1^{2} - {\sqrt{\frac{3}{2}}}^{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arccos (\sqrt{\frac{3}{2}}))$ est $\sqrt{\frac{- 1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 3

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 4

Extrayez les termes de sous le radical.

$i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 6

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 7

Toute racine de $1$ est $1$ .

$i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 9

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 9.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 9.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 9.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 9.6.5

Évaluez l’exposant.

$i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 10

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{i \sqrt{2}}{2}$