Trigonométrie Exemples

$\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ . Ainsi, $\sin (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ est $\frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{x}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{x \cdot 1}{\sqrt{2} \sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Étape 3.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2} \sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2})}}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2})}}$

Étape 4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2})}}$

Étape 4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2})}}$

Étape 4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2})}}$

Étape 4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2})}}$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2})}}$

Étape 4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2})}}$

Étape 4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2})}}$

Étape 4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})}}$

Étape 4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2})}}$

Étape 4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2})}}$

Étape 4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2})}}$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}})}}$

Étape 4.4.2

Appliquez la règle de produit à $x \sqrt{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}}$

Étape 4.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})}}$

Étape 4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})}}$

Étape 4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})}}$

Étape 4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})}}$

Étape 4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{2^{2}})}}$

Étape 4.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2^{2}})}}$

Étape 4.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{4})}}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 4.7.1

Factorisez $2$ à partir de $x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{4})}}$

Étape 4.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2})}}$

Étape 4.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2})}}$

Étape 4.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{\sqrt{2 (1 + \frac{x^{2}}{2})}}$

Étape 4.8

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x}{\sqrt{2 (\frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2})}}$

Étape 4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{\sqrt{2 \frac{2 + x^{2}}{2}}}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Associez $2$ et $\frac{2 + x^{2}}{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{\frac{2 (2 + x^{2})}{2}}}$

Étape 5.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Réduisez l’expression $\frac{2 (2 + x^{2})}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x}{\sqrt{\frac{2 (2 + x^{2})}{2}}}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x}{\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{1}}}$

Étape 5.2.2

Divisez $2 + x^{2}$ par $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}}$

Étape 6

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}}}$

Étape 7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{x}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}}}$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2 + x^{2}}}$

Étape 7.2

Élevez $\sqrt{2 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{1} \sqrt{2 + x^{2}}}$

Étape 7.3

Élevez $\sqrt{2 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{2 + x^{2}}}^{1}}$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{\sqrt{2 + x^{2}}}^{2}}$

Étape 7.6

Réécrivez ${\sqrt{2 + x^{2}}}^{2}$ comme $2 + x^{2}$ .

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Étape 7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 + x^{2}}$ comme ${(2 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{({(2 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{{(2 + x^{2})}^{1}}$

Étape 7.6.5

Simplifiez

$\frac{x \sqrt{2 + x^{2}}}{2 + x^{2}}$