Trigonométrie Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (x) = - 1$

Étape 2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 2.5

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Étape 2.6

Consolidez les solutions.

$\sin (x) = - 1, 1$

Étape 2.7

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Étape 2.8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - 1$ .

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Étape 2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 2.8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 2.8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.8.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 2.8.4.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.8.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.8.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.8.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 2.8.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.8.6.3

Associez les fractions.

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Étape 2.8.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.8.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.6.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 2.8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 2.8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.8.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.9

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = 1$ .

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Étape 2.9.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 2.9.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.9.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.9.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 2.9.4

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.9.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.9.4.2

Associez les fractions.

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Étape 2.9.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.9.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.9.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.4.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 2.9.4.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.9.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 2.9.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.9.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.9.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.9.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.9.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.12

Déterminez le domaine de $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

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Étape 2.12.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - \sin (x) = 0$

Étape 2.12.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.12.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 2.12.2.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.12.2.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 2.12.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.12.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 2.12.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 2.12.2.4

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.12.2.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.12.2.5

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 2.12.2.6

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 2.12.2.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.12.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.2.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 2.12.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 2.12.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.2.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 2.12.2.6.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 2.12.2.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.12.2.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 2.12.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 2.12.2.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 2.12.2.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.12.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.13

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Étape 2.14

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.14.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.14.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 3$

Étape 2.14.1.2

Remplacez $x$ par $3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

Étape 2.14.1.3

Le côté gauche $1.32861403$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.14.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.14.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 2.14.2.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

Étape 2.14.2.3

Le côté gauche $0.56321382$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.14.3

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vrai

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vrai

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vrai

Étape 2.15

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ou $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.16

Associez les intervalles.

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 - \sin (x) = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = - 1$

Étape 4.2

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Étape 4.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (1)$

Étape 4.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.5

$x = π - \frac{π}{2}$

Étape 4.6

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 4.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 4.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 4.6.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 4.7

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.7.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.7.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.8

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ , pour tout entier $n$

Étape 6