Trigonométrie Exemples

$f (x) = - 2 x^{2} + 4 x - 6$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = - 2 x^{2} + 4 x - 6$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$ .

$- 2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 4 x - 6$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 4 x - 6 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 2$ à partir de $4 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 6 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 6$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot 3 = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 2 x) - 2 \cdot 3 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 2 x) - 2 (3)$ .

$- 2 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} - 2 x + 3)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 (x^{2} - 2 x + 3)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2} - 2 x + 3$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6

Simplifiez

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{2}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Étape 1.2.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.2.8.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

Étape 1.2.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{2}$

Étape 1.2.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

Étape 1.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = - 2 {(0)}^{2} + 4 (0) - 6$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2 \cdot 0^{2} + 4 (0) - 6$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - 2 {(0)}^{2} + 4 (0) - 6$

Étape 2.2.3

Simplifiez $- 2 {(0)}^{2} + 4 (0) - 6$ .

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Étape 2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = - 2 \cdot 0 + 4 (0) - 6$

Étape 2.2.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$y = 0 + 4 (0) - 6$

Étape 2.2.3.1.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 6$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.3.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 6$

Étape 2.2.3.2.2

Soustrayez $6$ de $0$ .

$y = - 6$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 6)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 6)$

Étape 4