Trigonométrie Exemples

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x - 6}{x + 2}$

Étape 1

Factorisez $x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 1.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 6$

Étape 1.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 6$

Étape 1.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 8 + 4 - 5 \cdot - 2 - 6$

Étape 1.3.4

Additionnez $- 8$ et $4$ .

$- 4 - 5 \cdot - 2 - 6$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 5$ par $- 2$ .

$- 4 + 10 - 6$

Étape 1.3.6

Additionnez $- 4$ et $10$ .

$6 - 6$

Étape 1.3.7

Soustrayez $6$ de $6$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x - 6}{x + 2}$

Étape 1.5

Divisez $x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ par $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$6$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x - 6$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - x - 3$

Étape 1.6

Écrivez $x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ comme un ensemble de facteurs.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$

Étape 2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réduisez l’expression $\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$ en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} - x - 3}{1}$

Étape 2.2

Divisez $x^{2} - x - 3$ par $1$ .

$x^{2} - x - 3$