Trigonométrie Exemples

$\frac{- 37 - 5 i}{- 3 - 5 i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 37 - 5 i}{- 3 - 5 i}$ par le conjugué de $- 3 - 5 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 37 - 5 i}{- 3 - 5 i} \cdot \frac{- 3 + 5 i}{- 3 + 5 i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(- 37 - 5 i) (- 3 + 5 i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(- 37 - 5 i) (- 3 + 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 37 (- 3 + 5 i) - 5 i (- 3 + 5 i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 37 \cdot - 3 - 37 (5 i) - 5 i (- 3 + 5 i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 37 \cdot - 3 - 37 (5 i) - 5 i \cdot - 3 - 5 i (5 i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 37$ par $- 3$ .

$\frac{111 - 37 (5 i) - 5 i \cdot - 3 - 5 i (5 i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $5$ par $- 37$ .

$\frac{111 - 185 i - 5 i \cdot - 3 - 5 i (5 i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$\frac{111 - 185 i + 15 i - 5 i (5 i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 5 i (5 i)$ .

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Étape 2.2.2.1.4.1

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{111 - 185 i + 15 i - 25 i i}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{111 - 185 i + 15 i - 25 (i^{1} i)}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{111 - 185 i + 15 i - 25 (i^{1} i^{1})}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{111 - 185 i + 15 i - 25 i^{1 + 1}}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{111 - 185 i + 15 i - 25 i^{2}}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{111 - 185 i + 15 i - 25 \cdot - 1}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{111 - 185 i + 15 i + 25}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $111$ et $25$ .

$\frac{136 - 185 i + 15 i}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $- 185 i$ et $15 i$ .

$\frac{136 - 170 i}{(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 3 - 5 i) (- 3 + 5 i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{136 - 170 i}{- 3 (- 3 + 5 i) - 5 i (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{136 - 170 i}{- 3 \cdot - 3 - 3 (5 i) - 5 i (- 3 + 5 i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{136 - 170 i}{- 3 \cdot - 3 - 3 (5 i) - 5 i \cdot - 3 - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 3 (5 i) - 5 i \cdot - 3 - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $5$ par $- 3$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 15 i - 5 i \cdot - 3 - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 5$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 15 i + 15 i - 5 i (5 i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $5$ par $- 5$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 15 i + 15 i - 25 i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 15 i + 15 i - 25 (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 15 i + 15 i - 25 (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{136 - 170 i}{9 - 15 i + 15 i - 25 i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 15 i + 15 i - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Additionnez $- 15 i$ et $15 i$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 + 0 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 25 i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 - 25 \cdot - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 25$ par $- 1$ .

$\frac{136 - 170 i}{9 + 25}$

Étape 2.3.4

Additionnez $9$ et $25$ .

$\frac{136 - 170 i}{34}$

Étape 3

Annulez le facteur commun à $136 - 170 i$ et $34$ .

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Étape 3.1

Factorisez $34$ à partir de $136$ .

$\frac{34 \cdot 4 - 170 i}{34}$

Étape 3.2

Factorisez $34$ à partir de $- 170 i$ .

$\frac{34 \cdot 4 + 34 (- 5 i)}{34}$

Étape 3.3

Factorisez $34$ à partir de $34 (4) + 34 (- 5 i)$ .

$\frac{34 (4 - 5 i)}{34}$

Étape 3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.1

Factorisez $34$ à partir de $34$ .

$\frac{34 (4 - 5 i)}{34 (1)}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{34 (4 - 5 i)}{34 \cdot 1}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 - 5 i}{1}$

Étape 3.4.4

Divisez $4 - 5 i$ par $1$ .

$4 - 5 i$