Trigonométrie Exemples

$\frac{- 1 - i}{- 1 + i}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de $\frac{- 1 - i}{- 1 + 1 i}$ par le conjugué de $- 1 + 1 i$ pour rendre le dénominateur réel.

$\frac{- 1 - i}{- 1 + 1 i} \cdot \frac{- 1 - i}{- 1 - i}$

Étape 2

Multipliez.

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Étape 2.1

Associez.

$\frac{(- 1 - i) (- 1 - i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1

Développez $(- 1 - i) (- 1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 (- 1 - i) - i (- 1 - i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot - 1 - 1 (- i) - i (- 1 - i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- 1 \cdot - 1 - 1 (- i) - i \cdot - 1 - i (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 - 1 (- i) - i \cdot - 1 - i (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 1 i - i \cdot - 1 - i (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1 + i - i \cdot - 1 - i (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + i + 1 i - i (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1 + i + i - i (- i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6

Multipliez $- i (- i)$ .

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Étape 2.2.2.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + i + i + 1 i i}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i + i + 1 (i^{1} i)}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6.3

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + i + i + 1 (i^{1} i^{1})}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + i + i + 1 i^{1 + 1}}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + i + i + 1 i^{2}}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.6.6

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$\frac{1 + i + i + i^{2}}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 + i + i - 1}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + i + i}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $0$ et $i$ .

$\frac{i + i}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $i$ et $i$ .

$\frac{2 i}{(- 1 + 1 i) (- 1 - i)}$

Étape 2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.3.1

Développez $(- 1 + 1 i) (- 1 - i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{- 1 (- 1 - i) + 1 i (- 1 - i)}$

Étape 2.3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- i) + 1 i (- 1 - i)}$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 i}{- 1 \cdot - 1 - 1 (- i) + 1 i \cdot - 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - 1 (- i) + 1 i \cdot - 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i + 1 i \cdot - 1 + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i + 1 i (- i)}$

Étape 2.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i i}$

Étape 2.3.2.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i)}$

Étape 2.3.2.6

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - (i^{1} i^{1})}$

Étape 2.3.2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{1 + 1}}$

Étape 2.3.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1 i - i - i^{2}}$

Étape 2.3.2.9

Soustrayez $i$ de $1 i$ .

$\frac{2 i}{1 + 0 - i^{2}}$

Étape 2.3.2.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2 i}{1 - i^{2}}$

Étape 2.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 - - 1}$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 i}{1 + 1}$

Étape 2.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 i}{2}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 i}{2}$

Étape 3.2

Divisez $i$ par $1$ .

$i$