Trigonométrie Exemples

$\cos (- \frac{π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3

Associez $\cos (\frac{13 π}{7})$ et $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 1.4.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 1.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 1.4.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 1.4.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.4.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.4.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.4.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 1.4.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.4.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 1.4.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.4.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.4.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 1.5

Associez $\sin (\frac{π}{7})$ et $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Forme décimale :

$0.99842681 \dots$