Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{5 π}{8}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{8})$ est $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.1.1

Réécrivez $\frac{5 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4

Simplifiez $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 1.1.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.6

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.4.6.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1.4.8.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.1.4.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 1.2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.2.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3

Multipliez $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.3

Développez $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.3.4.1.4.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.3.4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.3

Additionnez $- 2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.4.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{5 π}{8}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.4.1

Réécrivez $\frac{5 π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}) \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le deuxième quadrant.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Étape 1.4.4.1

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.3

Multipliez $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.4.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.7

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.4.4.7.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.8

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.4.9.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.4.4.9.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sin (\frac{π}{8})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.5.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 1.5.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 1.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 1.5.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 1.5.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.5.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.5.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 1.5.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 1.5.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.5.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 1.5.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 1.5.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.5.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.5.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 1.6.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.3

Développez $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.6.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.6.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.4.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.4

Multipliez $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Étape 1.6.4.1.4.1

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.6.4.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.4.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.2

Soustrayez $2$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.3

Additionnez $- 2 \sqrt{2}$ et $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.4.4

Additionnez $2$ et $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.6.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$

Étape 2.2

Additionnez $- \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 2.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$