Trigonométrie Exemples

$\cos (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.2

Appliquez l’identité de somme d’angles $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.7

Simplifiez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.7.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.7.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.7.1.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.7.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.7.1.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.1.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.7.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.1.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.6

Multipliez $- \sqrt{2} \sqrt{3}$ .

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Étape 1.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{18} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.7.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.7.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8

La valeur exacte de $\sin (\frac{5 π}{12})$ est $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Étape 1.8.1

Divisez $\frac{5 π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.7

Simplifiez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.8.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.7.1.1

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.8.7.1.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.7.1.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.7.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 1.8.7.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.7.1.2.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.7.1.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.7.1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.8.7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (\frac{π}{6})$

Étape 1.9

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.10

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 2}$

Étape 1.10.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 2.2

Additionnez $3 \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}}{8}$

Étape 2.3

Additionnez $- \sqrt{6}$ et $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Étape 2.4

Additionnez $4 \sqrt{2}$ et $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Étape 2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$