Trigonométrie Exemples

$\cos (15) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (45 - 30) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.2

Séparez la négation.

$\cos (45 - (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (30) - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1

Multipliez $6$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.7.2

Réécrivez $18$ comme $3^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.7.2.1

Factorisez $9$ à partir de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.7.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.7.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.7.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (15) \sin (30)$

Étape 1.8

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.8.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (45 - 30) \sin (30)$

Étape 1.8.2

Séparez la négation.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \sin (45 - (30)) \sin (30)$

Étape 1.8.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Étape 1.8.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Étape 1.8.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30)) \sin (30)$

Étape 1.8.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) \sin (30)$

Étape 1.8.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Étape 1.8.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.8.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Étape 1.8.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Étape 1.8.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Étape 1.8.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (30)$

Étape 1.8.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.8.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (30)$

Étape 1.8.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (30)$

Étape 1.8.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (30)$

Étape 1.9

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 1.10

Multipliez $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.10.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 4}$

Étape 1.10.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Étape 2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Étape 3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.2

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Étape 3.2.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Additionnez $3 \sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Étape 4.2

Soustrayez $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Étape 4.3

Additionnez $4 \sqrt{2}$ et $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Étape 4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Étape 4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forme décimale :

$0.70710678 \dots$