Trigonométrie Exemples

$\cot (\arcsin (\frac{a}{b}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}}, \frac{a}{b})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{a}{b})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}}, \frac{a}{b})$ . Ainsi, $\cot (\arcsin (\frac{a}{b}))$ est $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{a}{b})}^{2}}}{\frac{a}{b}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{a}{b})}^{2}}}{\frac{a}{b}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{1 - {(\frac{a}{b})}^{2}} \frac{b}{a}$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{a}{b})}^{2}} \frac{b}{a}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{a}{b}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{a}{b}) (1 - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{b}{b} + \frac{a}{b}) (1 - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{b + a}{b} (1 - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Étape 5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{b + a}{b} (\frac{b}{b} - \frac{a}{b})} \frac{b}{a}$

Étape 5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{b + a}{b} \cdot \frac{b - a}{b}} \frac{b}{a}$

Étape 5.5

Multipliez $\frac{b + a}{b}$ par $\frac{b - a}{b}$ .

$\sqrt{\frac{(b + a) (b - a)}{b \cdot b}} \frac{b}{a}$

Étape 5.6

Multipliez $b$ par $b$ .

$\sqrt{\frac{(b + a) (b - a)}{b^{2}}} \frac{b}{a}$

Étape 6

Réécrivez $\frac{(b + a) (b - a)}{b^{2}}$ comme ${(\frac{1}{b})}^{2} ((b + a) (b - a))$ .

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Étape 6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(b + a) (b - a)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((b + a) (b - a))}{b^{2}}} \frac{b}{a}$

Étape 6.2

Factorisez la puissance parfaite $b^{2}$ dans $b^{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((b + a) (b - a))}{b^{2} \cdot 1}} \frac{b}{a}$

Étape 6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((b + a) (b - a))}{b^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{b})}^{2} ((b + a) (b - a))} \frac{b}{a}$

Étape 7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{b} \sqrt{(b + a) (b - a)} \frac{b}{a}$

Étape 8

Associez $\frac{1}{b}$ et $\sqrt{(b + a) (b - a)}$ .

$\frac{\sqrt{(b + a) (b - a)}}{b} \cdot \frac{b}{a}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $b$ .

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(b + a) (b - a)}}{b} \cdot \frac{b}{a}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(b + a) (b - a)} \frac{1}{a}$

Étape 10

Associez $\sqrt{(b + a) (b - a)}$ et $\frac{1}{a}$ .

$\frac{\sqrt{(b + a) (b - a)}}{a}$