Trigonométrie Exemples

$\cot (\frac{10 π}{3}) + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cot (\frac{4 π}{3}) + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cot (\frac{π}{3}) + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{3^{1}} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\cot (\frac{16 π}{3})}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 6

Réécrivez $\cot (\frac{16 π}{3})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\frac{\cos (\frac{16 π}{3})}{\sin (\frac{16 π}{3})}}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 7

Réécrivez $\frac{\frac{\cos (\frac{16 π}{3})}{\sin (\frac{16 π}{3})}}{\cos (\frac{17 π}{6})}$ comme un produit.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\cos (\frac{16 π}{3})}{\sin (\frac{16 π}{3})} \cdot \frac{1}{\cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 8

Multipliez $\frac{\cos (\frac{16 π}{3})}{\sin (\frac{16 π}{3})}$ par $\frac{1}{\cos (\frac{17 π}{6})}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\cos (\frac{16 π}{3})}{\sin (\frac{16 π}{3}) \cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\cos (\frac{4 π}{3})}{\sin (\frac{16 π}{3}) \cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 9.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \cos (\frac{π}{3})}{\sin (\frac{16 π}{3}) \cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 9.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{\sin (\frac{16 π}{3}) \cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{\sin (\frac{4 π}{3}) \cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 10.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 10.3

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{17 π}{6})}$

Étape 10.4

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{5 π}{6})}$

Étape 10.5

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} (- \cos (\frac{π}{6}))}$

Étape 10.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

Étape 10.7

Associez les exposants.

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Étape 10.7.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 10.7.2

Associez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- (\frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})}$

Étape 10.7.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3} \cdot - 1}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{\sqrt{3} \cdot - 1 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Étape 10.7.4

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2 \cdot 2}}$

Étape 10.7.5

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2 \cdot 2}}$

Étape 10.7.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2}}$

Étape 10.7.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 10.7.8

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- {\sqrt{3}}^{2}}{4}}$

Étape 10.8

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 10.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}}$

Étape 10.8.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}}$

Étape 10.8.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- 3^{\frac{2}{2}}}{4}}$

Étape 10.8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- 3^{\frac{2}{2}}}{4}}$

Étape 10.8.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- 3^{1}}{4}}$

Étape 10.8.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- 1 \cdot 3}{4}}$

Étape 10.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- \frac{- 3}{4}}$

Étape 10.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{- - \frac{3}{4}}$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{1 (\frac{3}{4})}$

Étape 11.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}$

Étape 12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 13.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{- 1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3}$

Étape 13.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2}{3}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{2}{3}$

Forme décimale :

$- 0.08931639 \dots$