Trigonométrie Exemples

$\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ , $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $arccsc (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ . Ainsi, $\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$ est $\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} \frac{2}{x}$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} \frac{2}{x}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{2}$ et $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Étape 5

Associez en une fraction.

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Étape 5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Étape 5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

Étape 6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} \frac{2}{x}$

Étape 7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} \frac{2}{x}$

Étape 8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} \frac{2}{x}$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} \frac{2}{x}$

Étape 10

Multipliez $\frac{x + 2}{2}$ par $\frac{x - 2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

Étape 11

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} \frac{2}{x}$

Étape 12

Réécrivez $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Étape 12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 2) (x - 2)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} \frac{2}{x}$

Étape 12.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

Étape 12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} \frac{2}{x}$

Étape 13

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{2}{x}$

Étape 14

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

Étape 15.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{1}{x}$

Étape 16

Associez $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$