Trigonométrie Exemples

$\cos (25) \cos (15) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\cos (25) \cos (45 - 30) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.2

Séparez la négation.

$\cos (25) \cos (45 - (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (25) (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30)) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\cos (25) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\cos (25) \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.2

Associez $\cos (25)$ et $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (15)$

Étape 1.1.3

La valeur exacte de $\sin (15)$ est $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 1.1.3.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (45 - 30)$

Étape 1.1.3.2

Séparez la négation.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \sin (45 - (30))$

Étape 1.1.3.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Étape 1.1.3.4

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))$

Étape 1.1.3.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))$

Étape 1.1.3.6

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))$

Étape 1.1.3.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.1.3.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 1.1.3.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.1.3.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.1.3.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.1.3.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 1.1.3.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 1.1.3.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 1.1.3.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 1.1.3.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \sin (25) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 1.1.4

Associez $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ et $\sin (25)$ .

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} - \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\cos (25) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - (\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} - - \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Étape 2.3

Multipliez $- - \sqrt{2}$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} + (- \sqrt{6} + \sqrt{2}) \sin (25)}{4}$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - \sqrt{6} \sin (25) + \sqrt{2} \sin (25)}{4}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\cos (25) \sqrt{6} + \cos (25) \sqrt{2} - \sqrt{6} \sin (25) + \sqrt{2} \sin (25)}{4}$

Forme décimale :

$0.76604444 \dots$