Trigonométrie Exemples

$\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i}$

Étape 1

Multipliez $\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i}$ par $\frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i}$ .

$\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i} \cdot \frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i}$

Étape 2

Associez les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{1 + i}{1 - \sqrt{3} i}$ par $\frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)}{(1 - \sqrt{3} i) (1 + \sqrt{3} i)}$

Étape 2.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)}{1 + \sqrt{3} i - \sqrt{3} i - {\sqrt{3}}^{2} i^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$\frac{(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)}{4}$

Étape 3

Développez $(1 + i) (1 + \sqrt{3} i)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 (1 + \sqrt{3} i) + i (1 + \sqrt{3} i)}{4}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + i (1 + \sqrt{3} i)}{4}$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (\sqrt{3} i) + i \cdot 1 + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Étape 4

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1 + 1 (\sqrt{3} i) + i \cdot 1 + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Étape 4.1.2

Multipliez $\sqrt{3} i$ par $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i \cdot 1 + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Étape 4.1.3

Multipliez $i$ par $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i (\sqrt{3} i)}{4}$

Étape 4.1.4

Multipliez $i (\sqrt{3} i)$ .

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Étape 4.1.4.1

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{1} i \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.1.4.2

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{1} i^{1} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{1 + 1} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i + i^{2} \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.1.5

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i - 1 \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1 + \sqrt{3} i + i - \sqrt{3}}{4}$

Étape 4.2

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.2.1

Remettez dans l’ordre $1 + \sqrt{3} i + i$ et $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3} i + i}{4}$

Étape 4.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- (\sqrt{3}) + 1 + \sqrt{3} i + i}{4}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (\sqrt{3}) - 1 (- 1) + \sqrt{3} i + i}{4}$

Étape 4.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{3}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1) + \sqrt{3} i + i}{4}$

Étape 4.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{3} i$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1) - (- \sqrt{3} i) + i}{4}$

Étape 4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{3} - 1) - (- \sqrt{3} i)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i) + i}{4}$

Étape 4.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $i$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i) - 1 (- i)}{4}$

Étape 4.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i) - 1 (- i)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)}{4}$

Étape 4.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.9.1

Réécrivez $- (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)$ comme $- 1 (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i)}{4}$

Étape 4.2.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3} i - i}{4}$