Trigonométrie Exemples

${(1 - \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

$1^{7} + 7 \cdot 1^{6} (- \sqrt{3} i) + 21 \cdot 1^{5} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 7 \cdot 1^{6} (- \sqrt{3} i) + 21 \cdot 1^{5} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 7 \cdot 1 (- \sqrt{3} i) + 21 \cdot 1^{5} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$1 + 7 (- \sqrt{3} i) + 21 \cdot 1^{5} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$1 - 7 (\sqrt{3} i) + 21 \cdot 1^{5} {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.6

Multipliez $21$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 {(- \sqrt{3} i)}^{2} + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.7

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 ({(- \sqrt{3})}^{2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.7.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 (1 {\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 ({\sqrt{3}}^{2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 (3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 (3^{\frac{2}{2}} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 2.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 (3^{1} i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 (3 i^{2}) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 (3 \cdot - 1) + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.12

Multipliez $21 (3 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.12.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i + 21 \cdot - 3 + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.12.2

Multipliez $21$ par $- 3$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 \cdot 1^{4} {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.13

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.14

Multipliez $35$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 {(- \sqrt{3} i)}^{3} + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.15

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.15.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 ({(- \sqrt{3})}^{3} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.15.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.16

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- {\sqrt{3}}^{3} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.17

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- \sqrt{3^{3}} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.18

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- \sqrt{27} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.19

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.19.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- \sqrt{9 (3)} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.19.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.20

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- (3 \sqrt{3}) i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.21

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- 3 \sqrt{3} i^{3}) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.22

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- 3 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- 3 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.24

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (- 3 \sqrt{3} (- i)) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.25

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 35 (3 \sqrt{3} i) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.26

Multipliez $3$ par $35$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 (\sqrt{3} i) + 35 \cdot 1^{3} {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.27

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.28

Multipliez $35$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 {(- \sqrt{3} i)}^{4} + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.29

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.29.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 ({(- \sqrt{3})}^{4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.29.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.30

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (1 {\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.31

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 ({\sqrt{3}}^{4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.32.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (3^{\frac{4}{2}} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.32.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.32.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (3^{\frac{2}{1}} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.32.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (3^{2} i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.33

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (9 i^{4}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.34

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.34.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (9 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.34.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (9 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.34.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 (9 \cdot 1) + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.35

Multipliez $35 (9 \cdot 1)$ .

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Étape 2.1.35.1

Multipliez $9$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 35 \cdot 9 + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.35.2

Multipliez $35$ par $9$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 \cdot 1^{2} {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.36

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.37

Multipliez $21$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 {(- \sqrt{3} i)}^{5} + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.38

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.38.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 ({(- \sqrt{3})}^{5} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.38.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 ({(- 1)}^{5} {\sqrt{3}}^{5} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.39

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- {\sqrt{3}}^{5} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.40

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{5}$ comme $\sqrt{3^{5}}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- \sqrt{3^{5}} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.41

Élevez $3$ à la puissance $5$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- \sqrt{243} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.42

Réécrivez $243$ comme $9^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.42.1

Factorisez $81$ à partir de $243$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- \sqrt{81 (3)} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.42.2

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- \sqrt{9^{2} \cdot 3} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.43

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- (9 \sqrt{3}) i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.44

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- 9 \sqrt{3} i^{5}) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.45

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- 9 \sqrt{3} (i^{4} i)) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.46

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.46.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- 9 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.46.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- 9 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.46.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- 9 \sqrt{3} (1 i)) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.47

Multipliez $i$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 + 21 (- 9 \sqrt{3} i) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.48

Multipliez $- 9$ par $21$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 (\sqrt{3} i) + 7 \cdot 1 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.49

Multipliez $7$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 {(- \sqrt{3} i)}^{6} + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.50

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.50.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 ({(- \sqrt{3})}^{6} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.50.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 ({(- 1)}^{6} {\sqrt{3}}^{6} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.51

Élevez $- 1$ à la puissance $6$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (1 {\sqrt{3}}^{6} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.52

Multipliez ${\sqrt{3}}^{6}$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 ({\sqrt{3}}^{6} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{6}$ comme $3^{3}$ .

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Étape 2.1.53.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 ({(3^{\frac{1}{2}})}^{6} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (3^{\frac{1}{2} \cdot 6} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $6$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (3^{\frac{6}{2}} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 2.1.53.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.53.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (3^{\frac{3}{1}} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.53.4.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (3^{3} i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.54

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (27 i^{6}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.55

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (27 (i^{4} i^{2})) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.56

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.56.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (27 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.56.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (27 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.56.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (27 (1 i^{2})) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.57

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (27 i^{2}) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.58

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 (27 \cdot - 1) + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.59

Multipliez $7 (27 \cdot - 1)$ .

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Étape 2.1.59.1

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i + 7 \cdot - 27 + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.59.2

Multipliez $7$ par $- 27$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 + {(- \sqrt{3} i)}^{7}$

Étape 2.1.60

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 2.1.60.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3} i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 + {(- \sqrt{3})}^{7} i^{7}$

Étape 2.1.60.2

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 + {(- 1)}^{7} {\sqrt{3}}^{7} i^{7}$

Étape 2.1.61

Élevez $- 1$ à la puissance $7$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - {\sqrt{3}}^{7} i^{7}$

Étape 2.1.62

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{7}$ comme $\sqrt{3^{7}}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - \sqrt{3^{7}} i^{7}$

Étape 2.1.63

Élevez $3$ à la puissance $7$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - \sqrt{2187} i^{7}$

Étape 2.1.64

Réécrivez $2187$ comme $27^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.64.1

Factorisez $729$ à partir de $2187$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - \sqrt{729 (3)} i^{7}$

Étape 2.1.64.2

Réécrivez $729$ comme $27^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - \sqrt{27^{2} \cdot 3} i^{7}$

Étape 2.1.65

Extrayez les termes de sous le radical.

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - (27 \sqrt{3}) i^{7}$

Étape 2.1.66

Multipliez $27$ par $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} i^{7}$

Étape 2.1.67

Réécrivez $i^{7}$ comme $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

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Étape 2.1.67.1

Factorisez $i^{4}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} (i^{4} i^{3})$

Étape 2.1.67.2

Factorisez $i^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.68

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.68.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.68.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.68.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} (1 (i^{2} \cdot i))$

Étape 2.1.69

Multipliez $i^{2} \cdot i$ par $1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i)$

Étape 2.1.70

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} (- 1 \cdot i)$

Étape 2.1.71

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 - 27 \sqrt{3} (- i)$

Étape 2.1.72

Multipliez $- 1$ par $- 27$ .

$1 - 7 \sqrt{3} i - 63 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 + 27 \sqrt{3} i$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $63$ de $1$ .

$- 7 \sqrt{3} i - 62 + 105 \sqrt{3} i + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 + 27 \sqrt{3} i$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 7 \sqrt{3} i$ et $105 \sqrt{3} i$ .

$98 \sqrt{3} i - 62 + 315 - 189 \sqrt{3} i - 189 + 27 \sqrt{3} i$

Étape 2.2.3

Soustrayez $189 \sqrt{3} i$ de $98 \sqrt{3} i$ .

$- 91 \sqrt{3} i - 62 + 315 - 189 + 27 \sqrt{3} i$

Étape 2.2.4

Additionnez $- 91 \sqrt{3} i$ et $27 \sqrt{3} i$ .

$- 64 \sqrt{3} i - 62 + 315 - 189$

Étape 2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.5.1

Additionnez $- 62$ et $315$ .

$- 64 \sqrt{3} i + 253 - 189$

Étape 2.2.5.2

Soustrayez $189$ de $253$ .

$- 64 \sqrt{3} i + 64$

Étape 2.2.5.3

Remettez dans l’ordre $- 64 \sqrt{3} i$ et $64$ .

$64 - 64 \sqrt{3} i$