Trigonométrie Exemples

{(\sqrt{2})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

${(\sqrt{2})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 1.1

Réécrivez

{\sqrt{2}}^{4}

${\sqrt{2}}^{4}$ comme

2^{2}

$2^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire

\sqrt{2}

$\sqrt{2}$ comme

2^{\frac{1}{2}}

$2^{\frac{1}{2}}$ .

{(2^{\frac{1}{2}})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

2^{\frac{1}{2} \cdot 4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.3

Associez

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ et

4

$4$ .

2^{\frac{4}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{\frac{4}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun à

4

$4$ et

2

$2$ .

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Étape 1.1.4.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

4

$4$ .

2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.2.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

2

$2$ .

2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

2^{\frac{2}{1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{\frac{2}{1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2.4

Divisez

2

$2$ par

1

$1$ .

2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.2

Élevez

2

$2$ à la puissance

2

$2$ .

4 (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$4 (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

4 (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))

$4 (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez

4

$4$ par

120

$120$ .

4 (\cos (480) + i \sin (4 \cdot 120))

$4 (\cos (480) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.2

Remove full rotations of

360

$360$ ° until the angle is between

0

$0$ ° and

360

$360$ °.

4 (\cos (120) + i \sin (4 \cdot 120))

$4 (\cos (120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

4 (- \cos (60) + i \sin (4 \cdot 120))

$4 (- \cos (60) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.4

La valeur exacte de

\cos (60)

$\cos (60)$ est

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

4 (- \frac{1}{2} + i \sin (4 \cdot 120))

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.5

Multipliez

4

$4$ par

120

$120$ .

4 (- \frac{1}{2} + i \sin (480))

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (480))$

Étape 2.6

Remove full rotations of

360

$360$ ° until the angle is between

0

$0$ ° and

360

$360$ °.

4 (- \frac{1}{2} + i \sin (120))

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (120))$

Étape 2.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

4 (- \frac{1}{2} + i \sin (60))

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

Étape 2.8

La valeur exacte de

\sin (60)

$\sin (60)$ est

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

4 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})

$4 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2.9

Associez

i

$i$ et

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

4 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})

$4 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

4 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})

$4 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

4 (- \frac{1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$4 (- \frac{1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans

- \frac{1}{2}

$- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

4 (\frac{- 1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$4 (\frac{- 1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2

Factorisez

2

$2$ à partir de

4

$4$ .

2 (2) \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$2 (2) \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

2 \cdot - 1 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$2 \cdot - 1 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

2 \cdot - 1 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$2 \cdot - 1 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3

Multipliez

2

$2$ par

- 1

$- 1$ .

- 2 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$- 2 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez

2

$2$ à partir de

4

$4$ .

- 2 + 2 (2) \frac{i \sqrt{3}}{2}

$- 2 + 2 (2) \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

- 2 + 2 \cdot 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}

$- 2 + 2 \cdot 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

- 2 + 2 (i \sqrt{3})

$- 2 + 2 (i \sqrt{3})$

- 2 + 2 i \sqrt{3}

$- 2 + 2 i \sqrt{3}$

- 2 + 2 i \sqrt{3}

$- 2 + 2 i \sqrt{3}$