Trigonométrie Exemples

${(\sqrt{2})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 4} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$2^{\frac{4}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2^{\frac{2}{1}} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2^{2} (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 (\cos (4 \cdot 120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Multipliez $4$ par $120$ .

$4 (\cos (480) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$4 (\cos (120) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$4 (- \cos (60) + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.4

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (4 \cdot 120))$

Étape 2.5

Multipliez $4$ par $120$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (480))$

Étape 2.6

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (120))$

Étape 2.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$4 (- \frac{1}{2} + i \sin (60))$

Étape 2.8

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2.9

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (- \frac{1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$4 (\frac{- 1}{2}) + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 (2) \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 \cdot - 1 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 + 4 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2 + 2 (2) \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 + 2 \cdot 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 + 2 (i \sqrt{3})$

$- 2 + 2 i \sqrt{3}$