Trigonométrie Exemples

${(\sqrt{2} (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

${(\sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{7 π}{6})))}^{4}$

Étape 1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

${(\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \sin (\frac{π}{6}))))}^{4}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \frac{1}{2})))}^{4}$

Étape 1.5

Associez $i$ et $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}))}^{4}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

${(\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{2} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Étape 3

Multipliez $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

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Étape 3.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2} + \sqrt{2} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Étape 3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(- \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2} + \sqrt{2} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

${(- \frac{\sqrt{6}}{2} + \sqrt{2} (- \frac{i}{2}))}^{4}$

Étape 4

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{i}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 5

Utilisez le théorème du binôme.

${(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

${(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

${(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 \frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$\frac{{\sqrt{6}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{4}$ comme $6^{2}$ .

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Étape 6.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{6^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{6^{2}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.4.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{36}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{36}{16} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.6

Annulez le facteur commun à $36$ et $16$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$\frac{4 (9)}{16} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 4} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 6.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \frac{\sqrt{2} i}{2}) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2} i}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{9}{4} + 4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} \frac{- \sqrt{2} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $4 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3}$ .

$\frac{9}{4} + 2 (2 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3}) \frac{- \sqrt{2} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.7.3

Annulez le facteur commun.

Étape 6.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 2 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (- \sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.8

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{9}{4} - 2 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{3} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.9

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.9.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\frac{9}{4} - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{3}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.9.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\frac{9}{4} - 2 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.10

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{9}{4} - 2 (- \frac{{\sqrt{6}}^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.11.1

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{3}$ comme $\sqrt{6^{3}}$ .

$\frac{9}{4} - 2 (- \frac{\sqrt{6^{3}}}{2^{3}}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.11.2

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{9}{4} - 2 (- \frac{\sqrt{216}}{2^{3}}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.11.3

Réécrivez $216$ comme $6^{2} \cdot 6$ .

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Étape 6.1.11.3.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$\frac{9}{4} - 2 (- \frac{\sqrt{36 (6)}}{2^{3}}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.11.3.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{9}{4} - 2 (- \frac{\sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2^{3}}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.11.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{9}{4} - 2 (- \frac{6 \sqrt{6}}{2^{3}}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.12

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{9}{4} - 2 (- \frac{6 \sqrt{6}}{8}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{6 \sqrt{6}}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{9}{4} - 2 \frac{- 6 \sqrt{6}}{8} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.13.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{9}{4} + 2 (- 1) \frac{- 6 \sqrt{6}}{8} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.13.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{9}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{- 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 4} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.13.4

Annulez le facteur commun.

Étape 6.1.13.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} - 1 \frac{- 6 \sqrt{6}}{4} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $4$ .

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Étape 6.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{6}$ .

$\frac{9}{4} - 1 \frac{2 (- 3 \sqrt{6})}{4} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{4} - 1 \frac{2 (- 3 \sqrt{6})}{2 (2)} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} - 1 \frac{2 (- 3 \sqrt{6})}{2 \cdot 2} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} - 1 \frac{- 3 \sqrt{6}}{2} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{4} - 1 (- \frac{3 \sqrt{6}}{2}) (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.16

Multipliez $- 1 (- \frac{3 \sqrt{6}}{2})$ .

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Étape 6.1.16.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{9}{4} + 1 \frac{3 \sqrt{6}}{2} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.16.2

Multipliez $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{6}}{2} (\sqrt{2} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.17

Multipliez $\frac{3 \sqrt{6}}{2} (\sqrt{2} i)$ .

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Étape 6.1.17.1

Associez $\sqrt{2}$ et $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{\sqrt{2} (3 \sqrt{6})}{2} i + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.17.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{2 \cdot 6}}{2} i + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.17.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{12}}{2} i + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.17.4

Associez $\frac{3 \sqrt{12}}{2}$ et $i$ .

$\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{12} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.18.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.18.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{4 (3)} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.18.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.18.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 2 \sqrt{3} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.18.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{9}{4} + \frac{6 \sqrt{3} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19

Annulez le facteur commun à $6$ et $2$ .

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Étape 6.1.19.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{3} i$ .

$\frac{9}{4} + \frac{2 (3 \sqrt{3} i)}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.19.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{4} + \frac{2 (3 \sqrt{3} i)}{2 (1)} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + \frac{2 (3 \sqrt{3} i)}{2 \cdot 1} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + \frac{3 \sqrt{3} i}{1} + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.19.2.4

Divisez $3 \sqrt{3} i$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 {(- \frac{\sqrt{6}}{2})}^{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.20.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.20.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.21

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 (1 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.22

Multipliez $\frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 6.1.23.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.23.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 \frac{6^{1}}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.23.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 \frac{6}{2^{2}} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.24

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 6 (\frac{6}{4}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.25

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.25.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 2 (3) \frac{6}{4} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.25.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 2 \cdot 3 \frac{6}{2 \cdot 2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.25.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 2 \cdot 3 \frac{6}{2 \cdot 2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.25.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 3 (\frac{6}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.26

Associez $3$ et $\frac{6}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + \frac{3 \cdot 6}{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.27

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + \frac{18}{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.28

Divisez $18$ par $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.29

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.29.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2} i}{2})}^{2}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.29.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 ({(- 1)}^{2} \frac{{(\sqrt{2} i)}^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.29.3

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} i$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2} i^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.30

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 (1 \frac{{\sqrt{2}}^{2} i^{2}}{2^{2}}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.31

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{2} i^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{{\sqrt{2}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.32.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 6.1.32.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.32.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2^{1} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2 i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.32.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2 \cdot - 1}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.33

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2 \cdot - 1}{4} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.34

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 (\frac{- 2}{4}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.35

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 6.1.35.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2 (- 1)}{4} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.35.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.35.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.35.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.35.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 (\frac{- 1}{2}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.36

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + 9 (- \frac{1}{2}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.37

Multipliez $9 (- \frac{1}{2})$ .

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Étape 6.1.37.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - 9 (\frac{1}{2}) + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.37.2

Associez $- 9$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i + \frac{- 9}{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.38

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 4 (- \frac{\sqrt{6}}{2}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.39

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.39.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{6}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 4 \frac{- \sqrt{6}}{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.39.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 2 (2) \frac{- \sqrt{6}}{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.39.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{6}}{2} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.39.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 2 (- \sqrt{6}) {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.40

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.41

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.41.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2} i}{2})}^{3}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.41.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} ({(- 1)}^{3} \frac{{(\sqrt{2} i)}^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.41.3

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} i$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.42

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{{\sqrt{2}}^{3} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.43.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{3}$ comme $\sqrt{2^{3}}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{\sqrt{2^{3}} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{\sqrt{8} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.3

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.43.3.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{\sqrt{4 (2)} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{2 \sqrt{2} i^{3}}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.5

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{2 \sqrt{2} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{2 \sqrt{2} (- 1 \cdot i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.7

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{2 \sqrt{2} \cdot - 1 i}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.8

Associez les exposants.

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Étape 6.1.43.8.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{- (2 \sqrt{2} i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.43.8.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{- 2 (\sqrt{2} i)}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{- 2 \sqrt{2} i}{2^{3}}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.44

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} (- \frac{- 2 \sqrt{2} i}{8}) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.45

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.45.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{- 2 \sqrt{2} i}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - 2 \sqrt{6} \frac{2 \sqrt{2} i}{8} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.45.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{6}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 2 (- \sqrt{6}) \frac{2 \sqrt{2} i}{8} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.45.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 2 (- \sqrt{6}) \frac{2 \sqrt{2} i}{2 (4)} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.45.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} + 2 (- \sqrt{6}) \frac{2 \sqrt{2} i}{2 \cdot 4} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.45.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{6} \frac{2 \sqrt{2} i}{4} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.46

Associez $\frac{2 \sqrt{2} i}{4}$ et $\sqrt{6}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 \sqrt{2} i \sqrt{6}}{4} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.47

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 \sqrt{6 \cdot 2} i}{4} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.48

Multipliez $6$ par $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 \sqrt{12} i}{4} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.49

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 6.1.49.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{12} i$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 (\sqrt{12} i)}{4} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.49.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.49.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 (\sqrt{12} i)}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.49.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 (\sqrt{12} i)}{2 \cdot 2} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.49.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{12} i}{2} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.50

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.50.1

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.50.1.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{4 (3)} i}{2} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.50.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} i}{2} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.50.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 \sqrt{3} i}{2} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.51

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.51.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \frac{2 \sqrt{3} i}{2} + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.51.2

Divisez $\sqrt{3} i$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - (\sqrt{3} i) + {(- \frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.52

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.1.52.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{2} i}{2})}^{4}$

Étape 6.1.52.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} \frac{{(\sqrt{2} i)}^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.52.3

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{2} i$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{2}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.53

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + 1 \frac{{\sqrt{2}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.54

Multipliez $\frac{{\sqrt{2}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{{\sqrt{2}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.55.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{4}$ comme $2^{2}$ .

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Étape 6.1.55.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{2^{\frac{4}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.1.55.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.55.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{2^{\frac{2}{1}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{2^{2} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 i^{4}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.3

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 6.1.55.3.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 {(i^{2})}^{2}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 {(- 1)}^{2}}{2^{4}}$

Étape 6.1.55.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 \cdot 1}{2^{4}}$

Étape 6.1.56

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 \cdot 1}{16}$

Étape 6.1.57

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4}{16}$

Étape 6.1.58

Annulez le facteur commun à $4$ et $16$ .

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Étape 6.1.58.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 (1)}{16}$

Étape 6.1.58.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.58.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Étape 6.1.58.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Étape 6.1.58.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{4} + 3 \sqrt{3} i - \frac{9}{2} - \sqrt{3} i + \frac{1}{4}$

Étape 6.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{9 + 1}{4} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.2.2

Additionnez $9$ et $1$ .

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{10}{4} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $4$ .

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Étape 6.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{2 (5)}{4} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{5}{2} + \frac{- 9}{2}$

Étape 6.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{5}{2} - \frac{9}{2}$

Étape 6.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{5 - 9}{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.4.2.1

Soustrayez $9$ de $5$ .

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i + \frac{- 4}{2}$

Étape 6.4.2.2

Divisez $- 4$ par $2$ .

$3 \sqrt{3} i - \sqrt{3} i - 2$

Étape 6.4.3

Soustrayez $\sqrt{3} i$ de $3 \sqrt{3} i$ .

$2 \sqrt{3} i - 2$

Étape 6.4.4

Remettez dans l’ordre $2 \sqrt{3} i$ et $- 2$ .

$- 2 + 2 \sqrt{3} i$