Trigonométrie Exemples

$\frac{\sqrt{1 - \cos (\frac{30}{2})}}{2}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $30$ et $2$ .

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Étape 1.1

Factorisez $2$ à partir de $30$ .

$\frac{\sqrt{1 - \cos (\frac{2 \cdot 15}{2})}}{2}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\sqrt{1 - \cos (\frac{2 \cdot 15}{2 (1)})}}{2}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{1 - \cos (\frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1})}}{2}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{1 - \cos (\frac{15}{1})}}{2}$

Étape 1.2.4

Divisez $15$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{1 - \cos (15)}}{2}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $\cos (15)$ est $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 2.1.1

Divisez $15$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$\frac{\sqrt{1 - \cos (45 - 30)}}{2}$

Étape 2.1.2

Séparez la négation.

$\frac{\sqrt{1 - \cos (45 - (30))}}{2}$

Étape 2.1.3

Appliquez l’identité de différence d’angles $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}}{2}$

Étape 2.1.4

La valeur exacte de $\cos (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}}{2}$

Étape 2.1.5

La valeur exacte de $\cos (30)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}}{2}$

Étape 2.1.6

La valeur exacte de $\sin (45)$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}}{2}$

Étape 2.1.7

La valeur exacte de $\sin (30)$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}}{2}$

Étape 2.1.8

Simplifiez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.1.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}}{2}$

Étape 2.1.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}}{2}$

Étape 2.1.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}}{2}$

Étape 2.1.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}}{2}$

Étape 2.1.8.1.2

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.1.8.1.2.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}}{2}$

Étape 2.1.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}}{2}$

Étape 2.1.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}}{2}$

Étape 2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}}{2}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\sqrt{\frac{4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}}}{2}$

Étape 2.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}}{2}$

Étape 2.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}{2}$

Étape 2.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}{2}$

Étape 2.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2}}{2}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4

Multipliez $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{4}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{4}$

Forme décimale :

$0.09229595 \dots$