Trigonométrie Exemples

\frac{(- 9 \sqrt{3} - 9 i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)}{(9 + 9 \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}

$\frac{(- 9 \sqrt{3} - 9 i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)}{(9 + 9 \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à

$- 9 \sqrt{3} - 9 i$ et

$9 + 9 \sqrt{3} i$ .

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Étape 1.1

Factorisez

$9$ à partir de

$(- 9 \sqrt{3} - 9 i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)$ .

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i))}{(9 + 9 \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez

$9$ à partir de

$(9 + 9 \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)$ .

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i))}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i))}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun à

$9 - 9 \sqrt{3} i$ et

$9 + 9 \sqrt{3} i$ .

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Étape 2.1

Factorisez

$9$ à partir de

$(- \sqrt{3} - i) \cdot (9 - 9 \sqrt{3} i)$ .

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i))}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)}$

Étape 2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1

Factorisez

$9$ à partir de

$(1 + \sqrt{3} i) \cdot (9 + 9 \sqrt{3} i)$ .

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i))}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 ((- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i))}{9 ((1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i))}$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$

Étape 3

Multipliez

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ par

$\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)} \cdot \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$

Étape 4

Multipliez

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ par

$\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot (1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}$

Étape 5

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.1

Déplacez

$1 + \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) ((1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i))}$

Étape 5.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) (1 - (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i - {\sqrt{3}}^{2} i^{2})}$

Étape 5.3

Simplifiez

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{(1 + \sqrt{3} i) \cdot 4}$

Étape 5.4

Déplacez

$4$ à gauche de

$1 + \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$

Étape 6

Multipliez

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ par

$\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)} \cdot \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$

Étape 7

Multipliez

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i)}$ par

$\frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot (1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}$

Étape 8

Remettez dans l’ordre.

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Étape 8.1

Déplacez

$1 + \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 ((1 + \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i))}$

Étape 8.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 (1 - (\sqrt{3} i) + \sqrt{3} i - {\sqrt{3}}^{2} i^{2})}$

Étape 8.3

Simplifiez

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot 4}$

Étape 9

Multipliez

$1 - \sqrt{3} i$ par

$1 - \sqrt{3} i$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Déplacez

$1 - \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot ((1 - \sqrt{3} i) (1 - \sqrt{3} i)) (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot 4}$

Étape 9.2

Multipliez

$1 - \sqrt{3} i$ par

$1 - \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot {(1 - \sqrt{3} i)}^{2} (1 - \sqrt{3} i)}{4 \cdot 4}$

Étape 10

Multipliez

${(1 - \sqrt{3} i)}^{2}$ par

$1 - \sqrt{3} i$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1

Déplacez

$1 - \sqrt{3} i$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot ((1 - \sqrt{3} i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 10.2

Multipliez

$1 - \sqrt{3} i$ par

${(1 - \sqrt{3} i)}^{2}$ .

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Étape 10.2.1

Élevez

$1 - \sqrt{3} i$ à la puissance

$1$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot ({(1 - \sqrt{3} i)}^{1} {(1 - \sqrt{3} i)}^{2})}{4 \cdot 4}$

Étape 10.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot {(1 - \sqrt{3} i)}^{1 + 2}}{4 \cdot 4}$

Étape 10.3

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$\frac{(- \sqrt{3} - i) \cdot {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 11

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- \sqrt{3}$ .

$\frac{(- (\sqrt{3}) - i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 12

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- i$ .

$\frac{(- (\sqrt{3}) - (i)) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 13

Factorisez

$- 1$ à partir de

$- (\sqrt{3}) - (i)$ .

$\frac{- (\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 14

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.1

Réécrivez

$- (\sqrt{3} + i)$ comme

$- 1 (\sqrt{3} + i)$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 14.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{4 \cdot 4}$

Étape 14.3

Multipliez

$4$ par

$4$ .

$- \frac{(\sqrt{3} + i) {(1 - \sqrt{3} i)}^{3}}{16}$