Trigonométrie Exemples

${(\sqrt{14} (\cos (120) + i \cdot \sin (120)))}^{4}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

${(\sqrt{14} (- \cos (60) + i \cdot \sin (120)))}^{4}$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\cos (60)$ est $\frac{1}{2}$ .

${(\sqrt{14} (- \frac{1}{2} + i \cdot \sin (120)))}^{4}$

Étape 1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

${(\sqrt{14} (- \frac{1}{2} + i \cdot \sin (60)))}^{4}$

Étape 1.4

La valeur exacte de $\sin (60)$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\sqrt{14} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))}^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

${(\sqrt{14} (- \frac{1}{2}) + \sqrt{14} \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 2.2

Associez $\sqrt{14}$ et $\frac{1}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{14}}{2} + \sqrt{14} \frac{i \sqrt{3}}{2})}^{4}$

Étape 3

Multipliez $\sqrt{14} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 3.1

Associez $\sqrt{14}$ et $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{14}}{2} + \frac{\sqrt{14} (i \sqrt{3})}{2})}^{4}$

Étape 3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

${(- \frac{\sqrt{14}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cdot 14} i}{2})}^{4}$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $14$ .

${(- \frac{\sqrt{14}}{2} + \frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 4

Utilisez le théorème du binôme.

${(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ .

${(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{4} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{14}}{2}$ .

${(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 \frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.3

Multipliez $\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}}$ par $1$ .

$\frac{{\sqrt{14}}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.4.1

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{4}$ comme $14^{2}$ .

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Étape 5.1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{14^{\frac{4}{2}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.1.4.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.4.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{14^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{14^{\frac{2}{1}}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{14^{2}}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.4.2

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$\frac{196}{2^{4}} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.5

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{196}{16} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.6

Annulez le facteur commun à $196$ et $16$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $196$ .

$\frac{4 (49)}{16} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{4 \cdot 49}{4 \cdot 4} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} + 4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3}$ .

$\frac{49}{4} + 2 (2 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3}) \frac{\sqrt{42} i}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.7.2

Annulez le facteur commun.

Étape 5.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} + 2 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{3} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.8

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.8.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ .

$\frac{49}{4} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{3}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.8.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{14}}{2}$ .

$\frac{49}{4} + 2 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{14}}^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.9

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{49}{4} + 2 (- \frac{{\sqrt{14}}^{3}}{2^{3}}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.10.1

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{3}$ comme $\sqrt{14^{3}}$ .

$\frac{49}{4} + 2 (- \frac{\sqrt{14^{3}}}{2^{3}}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.10.2

Élevez $14$ à la puissance $3$ .

$\frac{49}{4} + 2 (- \frac{\sqrt{2744}}{2^{3}}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.10.3

Réécrivez $2744$ comme $14^{2} \cdot 14$ .

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Étape 5.1.10.3.1

Factorisez $196$ à partir de $2744$ .

$\frac{49}{4} + 2 (- \frac{\sqrt{196 (14)}}{2^{3}}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.10.3.2

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$\frac{49}{4} + 2 (- \frac{\sqrt{14^{2} \cdot 14}}{2^{3}}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.10.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{49}{4} + 2 (- \frac{14 \sqrt{14}}{2^{3}}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.11

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{49}{4} + 2 (- \frac{14 \sqrt{14}}{8}) (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.12.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{14 \sqrt{14}}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{49}{4} + 2 \frac{- 14 \sqrt{14}}{8} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.12.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{49}{4} + 2 \frac{- 14 \sqrt{14}}{2 (4)} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.12.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} + 2 \frac{- 14 \sqrt{14}}{2 \cdot 4} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.12.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} + \frac{- 14 \sqrt{14}}{4} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.13

Annulez le facteur commun à $- 14$ et $4$ .

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Étape 5.1.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 14 \sqrt{14}$ .

$\frac{49}{4} + \frac{2 (- 7 \sqrt{14})}{4} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{49}{4} + \frac{2 (- 7 \sqrt{14})}{2 (2)} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} + \frac{2 (- 7 \sqrt{14})}{2 \cdot 2} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} + \frac{- 7 \sqrt{14}}{2} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{49}{4} - \frac{7 \sqrt{14}}{2} (\sqrt{42} i) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.15

Multipliez $- \frac{7 \sqrt{14}}{2} (\sqrt{42} i)$ .

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Étape 5.1.15.1

Associez $\sqrt{42}$ et $\frac{7 \sqrt{14}}{2}$ .

$\frac{49}{4} - \frac{\sqrt{42} (7 \sqrt{14})}{2} i + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.15.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{49}{4} - \frac{7 \sqrt{42 \cdot 14}}{2} i + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.15.3

Multipliez $42$ par $14$ .

$\frac{49}{4} - \frac{7 \sqrt{588}}{2} i + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.15.4

Associez $i$ et $\frac{7 \sqrt{588}}{2}$ .

$\frac{49}{4} - \frac{i (7 \sqrt{588})}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.16.1

Réécrivez $588$ comme $14^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.1.16.1.1

Factorisez $196$ à partir de $588$ .

$\frac{49}{4} - \frac{i \cdot 7 \sqrt{196 (3)}}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.16.1.2

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$\frac{49}{4} - \frac{i \cdot 7 \sqrt{14^{2} \cdot 3}}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.16.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{49}{4} - \frac{i \cdot 7 \cdot 14 \sqrt{3}}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.16.3

Multipliez $14$ par $7$ .

$\frac{49}{4} - \frac{i \cdot 98 \sqrt{3}}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.17

Déplacez $98$ à gauche de $i$ .

$\frac{49}{4} - \frac{98 i \sqrt{3}}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.18

Annulez le facteur commun à $98$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.18.1

Factorisez $2$ à partir de $98 i \sqrt{3}$ .

$\frac{49}{4} - \frac{2 (49 i \sqrt{3})}{2} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.18.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{49}{4} - \frac{2 (49 i \sqrt{3})}{2 (1)} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - \frac{2 (49 i \sqrt{3})}{2 \cdot 1} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - \frac{49 i \sqrt{3}}{1} + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.18.2.4

Divisez $49 i \sqrt{3}$ par $1$ .

$\frac{49}{4} - (49 i \sqrt{3}) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.19

Multipliez $49$ par $- 1$ .

$\frac{49}{4} - 49 (i \sqrt{3}) + 6 {(- \frac{\sqrt{14}}{2})}^{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.20

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.20.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{14}}{2})}^{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.20.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{14}}{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.21

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 (1 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.22

Multipliez $\frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 \frac{{\sqrt{14}}^{2}}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.23

Réécrivez ${\sqrt{14}}^{2}$ comme $14$ .

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Étape 5.1.23.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{14}$ comme $14^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 \frac{{(14^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.23.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 \frac{14^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.23.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.23.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.23.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 \frac{14^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.23.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 \frac{14^{1}}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.23.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 \frac{14}{2^{2}} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.24

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 6 (\frac{14}{4}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.25

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.25.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 2 (3) \frac{14}{4} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.25.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{14}{2 \cdot 2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.25.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 2 \cdot 3 \frac{14}{2 \cdot 2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.25.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 3 (\frac{14}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.26

Associez $3$ et $\frac{14}{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + \frac{3 \cdot 14}{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.27

Multipliez $3$ par $14$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + \frac{42}{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.28

Divisez $42$ par $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.29

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.29.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{42} i}{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{{(\sqrt{42} i)}^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.29.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{42} i$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{{\sqrt{42}}^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.30

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.30.1

Réécrivez ${\sqrt{42}}^{2}$ comme $42$ .

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Étape 5.1.30.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{42}$ comme $42^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.30.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{42^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.30.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{42^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.30.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.30.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{42^{\frac{2}{2}} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.30.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{42^{1} i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.30.1.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{42 i^{2}}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.30.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{42 \cdot - 1}{2^{2}} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.31

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{42 \cdot - 1}{4} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.32

Multipliez $42$ par $- 1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 (\frac{- 42}{4}) + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.33

Annulez le facteur commun à $- 42$ et $4$ .

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Étape 5.1.33.1

Factorisez $2$ à partir de $- 42$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{2 (- 21)}{4} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.33.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.33.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{2 \cdot - 21}{2 \cdot 2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.33.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 \frac{2 \cdot - 21}{2 \cdot 2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.33.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 (\frac{- 21}{2}) + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.34

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + 21 (- \frac{21}{2}) + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.35

Multipliez $21 (- \frac{21}{2})$ .

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Étape 5.1.35.1

Multipliez $- 1$ par $21$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - 21 (\frac{21}{2}) + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.35.2

Associez $- 21$ et $\frac{21}{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + \frac{- 21 \cdot 21}{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.35.3

Multipliez $- 21$ par $21$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} + \frac{- 441}{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.36

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 4 (- \frac{\sqrt{14}}{2}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.37

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.37.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{14}}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 4 \frac{- \sqrt{14}}{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.37.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 2 (2) \frac{- \sqrt{14}}{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.37.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- \sqrt{14}}{2} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.37.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 2 (- \sqrt{14}) {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.38

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{3} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.39

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.39.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{42} i}{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{{(\sqrt{42} i)}^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.39.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{42} i$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{{\sqrt{42}}^{3} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.40.1

Réécrivez ${\sqrt{42}}^{3}$ comme $\sqrt{42^{3}}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{\sqrt{42^{3}} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.2

Élevez $42$ à la puissance $3$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{\sqrt{74088} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.3

Réécrivez $74088$ comme $42^{2} \cdot 42$ .

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Étape 5.1.40.3.1

Factorisez $1764$ à partir de $74088$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{\sqrt{1764 (42)} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.3.2

Réécrivez $1764$ comme $42^{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{\sqrt{42^{2} \cdot 42} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{42 \sqrt{42} i^{3}}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.5

Factorisez $i^{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{42 \sqrt{42} (i^{2} \cdot i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{42 \sqrt{42} (- 1 \cdot i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.7

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{42 \sqrt{42} \cdot - 1 i}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.8

Associez les exposants.

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Étape 5.1.40.8.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{- (42 \sqrt{42} i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.40.8.2

Multipliez $42$ par $- 1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{- 42 (\sqrt{42} i)}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{- 42 \sqrt{42} i}{2^{3}} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.41

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - 2 \sqrt{14} \frac{- 42 \sqrt{42} i}{8} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.42

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.42.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{14}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 2 (- \sqrt{14}) \frac{- 42 \sqrt{42} i}{8} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.42.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 2 (- \sqrt{14}) \frac{- 42 \sqrt{42} i}{2 (4)} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.42.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 2 (- \sqrt{14}) \frac{- 42 \sqrt{42} i}{2 \cdot 4} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.42.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \sqrt{14} \frac{- 42 \sqrt{42} i}{4} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.43

Associez $\frac{- 42 \sqrt{42} i}{4}$ et $\sqrt{14}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 42 \sqrt{42} i \sqrt{14}}{4} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.44

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 42 \sqrt{14 \cdot 42} i}{4} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.45

Multipliez $14$ par $42$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 42 \sqrt{588} i}{4} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.46

Annulez le facteur commun à $- 42$ et $4$ .

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Étape 5.1.46.1

Factorisez $2$ à partir de $- 42 \sqrt{588} i$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{2 (- 21 \sqrt{588} i)}{4} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.46.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.46.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{2 (- 21 \sqrt{588} i)}{2 (2)} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.46.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{2 (- 21 \sqrt{588} i)}{2 \cdot 2} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.46.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 21 \sqrt{588} i}{2} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.47

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.47.1

Réécrivez $588$ comme $14^{2} \cdot 3$ .

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Étape 5.1.47.1.1

Factorisez $196$ à partir de $588$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 21 \sqrt{196 (3)} i}{2} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.47.1.2

Réécrivez $196$ comme $14^{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 21 \sqrt{14^{2} \cdot 3} i}{2} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.47.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 21 \cdot 14 \sqrt{3} i}{2} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.47.3

Multipliez $- 21$ par $14$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 294 \sqrt{3} i}{2} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.48

Annulez le facteur commun à $- 294$ et $2$ .

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Étape 5.1.48.1

Factorisez $2$ à partir de $- 294 \sqrt{3} i$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{2 (- 147 \sqrt{3} i)}{2} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.48.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.48.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{2 (- 147 \sqrt{3} i)}{2 (1)} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.48.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{2 (- 147 \sqrt{3} i)}{2 \cdot 1} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.48.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - \frac{- 147 \sqrt{3} i}{1} + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.48.2.4

Divisez $- 147 \sqrt{3} i$ par $1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} - (- 147 \sqrt{3} i) + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.49

Multipliez $- 147$ par $- 1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 (\sqrt{3} i) + {(\frac{\sqrt{42} i}{2})}^{4}$

Étape 5.1.50

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.1.50.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{42} i}{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{{(\sqrt{42} i)}^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.50.2

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{42} i$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{{\sqrt{42}}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.51.1

Réécrivez ${\sqrt{42}}^{4}$ comme $42^{2}$ .

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Étape 5.1.51.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{42}$ comme $42^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{{(42^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{42^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{42^{\frac{4}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.1.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.1.51.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{42^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.51.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{42^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{42^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{42^{\frac{2}{1}} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.1.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{42^{2} i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.2

Élevez $42$ à la puissance $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{1764 i^{4}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.3

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 5.1.51.3.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{1764 {(i^{2})}^{2}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.3.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{1764 {(- 1)}^{2}}{2^{4}}$

Étape 5.1.51.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{1764 \cdot 1}{2^{4}}$

Étape 5.1.52

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{1764 \cdot 1}{16}$

Étape 5.1.53

Multipliez $1764$ par $1$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{1764}{16}$

Étape 5.1.54

Annulez le facteur commun à $1764$ et $16$ .

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Étape 5.1.54.1

Factorisez $4$ à partir de $1764$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{4 (441)}{16}$

Étape 5.1.54.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.1.54.2.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{4 \cdot 441}{4 \cdot 4}$

Étape 5.1.54.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{4 \cdot 441}{4 \cdot 4}$

Étape 5.1.54.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{49}{4} - 49 i \sqrt{3} - \frac{441}{2} + 147 \sqrt{3} i + \frac{441}{4}$

Étape 5.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{49 + 441}{4} + \frac{- 441}{2}$

Étape 5.2.2

Additionnez $49$ et $441$ .

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{490}{4} + \frac{- 441}{2}$

Étape 5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $490$ et $4$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $490$ .

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{2 (245)}{4} + \frac{- 441}{2}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{2 \cdot 245}{2 \cdot 2} + \frac{- 441}{2}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{2 \cdot 245}{2 \cdot 2} + \frac{- 441}{2}$

Étape 5.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{245}{2} + \frac{- 441}{2}$

Étape 5.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{245}{2} - \frac{441}{2}$

Étape 5.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{245 - 441}{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.4.2.1

Soustrayez $441$ de $245$ .

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i + \frac{- 196}{2}$

Étape 5.4.2.2

Divisez $- 196$ par $2$ .

$- 49 i \sqrt{3} + 147 \sqrt{3} i - 98$

Étape 5.4.2.3

Réorganisez les facteurs de $147 \sqrt{3} i$ .

$- 49 i \sqrt{3} + 147 i \sqrt{3} - 98$

Étape 5.4.3

Additionnez $- 49 i \sqrt{3}$ et $147 i \sqrt{3}$ .

$98 i \sqrt{3} - 98$

Étape 5.4.4

Remettez dans l’ordre $98 i \sqrt{3}$ et $- 98$ .

$- 98 + 98 i \sqrt{3}$