Trigonométrie Exemples

$\log ({(81)}^{y}) < \log ({(27)}^{y + 3})$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log (81^{y}) = \log (27^{y + 3})$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (\log (81^{y})) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Étape 2.2

Développez $\log (81^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$\ln (y \log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Étape 2.3

Réécrivez $\ln (y \log (81))$ comme $\ln (y) + \ln (\log (81))$ .

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (\log (27^{y + 3}))$

Étape 2.4

Développez $\log (27^{y + 3})$ en déplaçant $y + 3$ hors du logarithme.

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Étape 2.5

Réécrivez $\ln ((y + 3) \log (27))$ comme $\ln (y + 3) + \ln (\log (27))$ .

$\ln (y) + \ln (\log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Étape 2.6

Résolvez l’équation pour $y$ .

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Étape 2.6.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln (y + 3) + \ln (\log (27))$

Étape 2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y \log (81)) = \ln ((y + 3) \log (27))$

Étape 2.6.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + 3 \log (27))$

Étape 2.6.3

Simplifiez $3 \log (27)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (y \log (81)) = \ln (y \log (27) + \log (27^{3}))$

Étape 2.6.4

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$y \log (81) = y \log (27) + \log (27^{3})$

Étape 2.6.5

Résolvez $y$ .

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Étape 2.6.5.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.5.1.1

Élevez $27$ à la puissance $3$ .

$y \log (81) = y \log (27) + \log (19683)$

Étape 2.6.5.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$y \log (81) - y \log (27) - \log (19683) = 0$

Étape 2.6.5.3

Ajoutez $\log (19683)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \log (81) - y \log (27) = \log (19683)$

Étape 2.6.5.4

Factorisez $y$ à partir de $y \log (81) - y \log (27)$ .

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Étape 2.6.5.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y \log (81)$ .

$y (\log (81)) - y \log (27) = \log (19683)$

Étape 2.6.5.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- y \log (27)$ .

$y (\log (81)) + y (- 1 \log (27)) = \log (19683)$

Étape 2.6.5.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y (\log (81)) + y (- 1 \log (27))$ .

$y (\log (81) - 1 \log (27)) = \log (19683)$

Étape 2.6.5.5

Réécrivez $- 1 \log (27)$ comme $- \log (27)$ .

$y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$

Étape 2.6.5.6

Divisez chaque terme dans $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ par $\log (81) - \log (27)$ et simplifiez.

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Étape 2.6.5.6.1

Divisez chaque terme dans $y (\log (81) - \log (27)) = \log (19683)$ par $\log (81) - \log (27)$ .

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Étape 2.6.5.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.5.6.2.1

Annulez le facteur commun de $\log (81) - \log (27)$ .

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Étape 2.6.5.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\log (81) - \log (27))}{\log (81) - \log (27)} = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Étape 2.6.5.6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Étape 3

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$y < \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{\log (19683)}{\log (81) - \log (27)})$

Étape 5