Trigonométrie Exemples

$\cot (3 x) < 0$

Étape 1

Prenez la cotangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cotangente.

$3 x < arccot (0)$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.1

La valeur exacte de $arccot (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$3 x < \frac{π}{2}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $3 x < \frac{π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $3 x < \frac{π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x < \frac{π}{6}$

Étape 4

La fonction cotangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

Étape 5

Résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.1.2

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Étape 5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Étape 5.1.4

Additionnez $π \cdot 2$ et $π$ .

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Étape 5.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $2 \cdot π$ et $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2}$

Étape 6

Déterminez la période de $\cot (3 x)$ .

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Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $3$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 3 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$\frac{π}{3}$

Étape 7

La période de la fonction $\cot (3 x)$ est $\frac{π}{3}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{3}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Déterminez le domaine de $\cot (3 x)$ .

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Étape 9.1

Définissez l’argument dans $\cot (3 x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Divisez chaque terme dans $3 x = π n$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = π n$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Étape 9.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 9.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Étape 9.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π n}{3}$

Étape 9.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

Étape 11

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 11.1

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{6}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < \frac{π}{6}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.26$

Étape 11.1.2

Remplacez $x$ par $0.26$ dans l’inégalité d’origine.

$\cot (3 (0.26)) < 0$

Étape 11.1.3

Le côté gauche $1.01085502$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 11.2.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\cot (3 (1)) < 0$

Étape 11.2.3

Le côté gauche $- 7.01525255$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 11.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 11.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1.31$

Étape 11.3.2

Remplacez $x$ par $1.31$ dans l’inégalité d’origine.

$\cot (3 (1.31)) < 0$

Étape 11.3.3

Le côté gauche $0.99399967$ n’est pas inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 11.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$0 < x < \frac{π}{6}$ Faux

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Faux

$0 < x < \frac{π}{6}$ Faux

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Faux

Étape 12

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 13