Trigonométrie Exemples

$\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (5 x (x - 2)) = 2$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\log (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2) = 2$

Étape 1.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $x$ .

$\log (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2) = 2$

Étape 1.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\log (5 x^{2} + 5 x \cdot - 2) = 2$

Étape 1.4

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$

Étape 2

Réécrivez $\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 5 x^{2} - 10 x$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$ .

$5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$

Étape 3.2

Élevez $10$ à la puissance $2$ .

$5 x^{2} - 10 x = 100$

Étape 3.3

Soustrayez $100$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} - 10 x - 100 = 0$

Étape 3.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} - 10 x - 100$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2}$ .

$5 (x^{2}) - 10 x - 100 = 0$

Étape 3.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 10 x$ .

$5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) - 100 = 0$

Étape 3.4.3

Factorisez $5$ à partir de $- 100$ .

$5 x^{2} + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Étape 3.4.4

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{2} + 5 (- 2 x)$ .

$5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Étape 3.4.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20$ .

$5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ par $5$ .

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $x^{2} - 2 x - 20$ par $1$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = \frac{0}{5}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Divisez $0$ par $5$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = 0$

Étape 3.6

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.7

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - 20$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Étape 3.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.3

Additionnez $4$ et $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.4

Réécrivez $84$ comme $2^{2} \cdot 21$ .

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Étape 3.8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $84$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Étape 3.8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{21}$

Étape 3.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + \sqrt{21}, 1 - \sqrt{21}$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$ vrai.

$x = 1 + \sqrt{21}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = 1 + \sqrt{21}$

Forme décimale :

$x = 5.58257569 \dots$