Trigonométrie Exemples

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Étape 1

Remplacez $\tan (x)$ par $u$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, u, 1, 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$u$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ par $u$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ par $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $u$ par $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Étape 3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Étape 3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $u$ par $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Étape 4

Résolvez l’inégalité.

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Étape 4.1

Réécrivez de sorte que $u$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Étape 4.2

Soustrayez $u^{2}$ des deux côtés de l’inégalité.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Étape 4.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Étape 4.4

Soustrayez $\sqrt{3}$ des deux côtés de l’équation.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Étape 4.5

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.5.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Étape 4.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Étape 4.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Étape 4.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Étape 4.6

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Étape 4.7

Définissez $- u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.7.1

Définissez $- u + 1$ égal à $0$ .

$- u + 1 = 0$

Étape 4.7.2

Résolvez $- u + 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 4.7.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- u = - 1$

Étape 4.7.2.2

Divisez chaque terme dans $- u = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.7.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- u = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.7.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.7.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.7.2.2.2.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 4.7.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.7.2.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$u = 1$

Étape 4.8

Définissez $u - \sqrt{3}$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 4.8.1

Définissez $u - \sqrt{3}$ égal à $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Étape 4.8.2

Ajoutez $\sqrt{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$u = \sqrt{3}$

Étape 4.9

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ vraie.

$u = 1, \sqrt{3}$

Étape 5

Remplacez $u$ par $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Étape 6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = 1$ .

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Étape 7.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 7.3

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 7.4

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 7.4.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 7.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Résolvez $x$ dans $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Étape 8.1

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\arctan (\sqrt{3})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 8.3

$x = π + \frac{π}{3}$

Étape 8.4

Simplifiez $π + \frac{π}{3}$ .

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Étape 8.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 8.4.2

Associez les fractions.

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Étape 8.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Étape 8.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Étape 8.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Étape 8.4.3.2

Additionnez $3 π$ et $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 8.5

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 8.5.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 8.6

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Consolidez les solutions.

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Étape 10.1

Consolidez $\frac{π}{4} + π n$ et $\frac{5 π}{4} + π n$ en $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10.2

Consolidez $\frac{π}{3} + π n$ et $\frac{4 π}{3} + π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Déterminez le domaine de $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

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Étape 11.1

Définissez l’argument dans $\tan (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.2

Définissez l’argument dans $\cot (x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 1$

Étape 13.1.2

Remplacez $x$ par $1$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $2.66954475$ est inférieur au côté droit $2.7320508$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 13.2.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

Étape 13.2.3

Le côté gauche $- 2.97772599$ est inférieur au côté droit $2.7320508$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.3

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 13.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

Étape 13.3.3

Le côté gauche $2.65377824$ est inférieur au côté droit $2.7320508$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Vrai

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vrai

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Vrai

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Vrai

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Étape 15

Associez les intervalles.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 16