Trigonométrie Exemples

$\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, 0)$ , et l’origine. Alors $\arcsin (\frac{5}{x})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}, \frac{5}{x})$ . Ainsi, $\tan (\arcsin (\frac{5}{x}))$ est $\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{x}}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Étape 2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{5}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{5 \cdot 1}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Étape 3.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1 - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Étape 4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{1^{2} - {(\frac{5}{x})}^{2}}}$

Étape 4.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = \frac{5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{(1 + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5}{x \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{5}{x}) (1 - \frac{5}{x})}}$

Étape 4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (1 - \frac{5}{x})}}$

Étape 4.3.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} (\frac{x}{x} - \frac{5}{x})}}$

Étape 4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{x + 5}{x} \cdot \frac{x - 5}{x}}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{x + 5}{x}$ par $\frac{x - 5}{x}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x \cdot x}}}$

Étape 4.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}}}$

Étape 4.6

Réécrivez $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ comme ${(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2}}}}$

Étape 4.6.2

Factorisez la puissance parfaite $x^{2}$ dans $x^{2}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}}}$

Étape 4.6.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 5) (x - 5))}{x^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{5}{x \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((x + 5) (x - 5))}}$

Étape 4.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{5}{x (\frac{1}{x} \sqrt{(x + 5) (x - 5)})}$

Étape 4.8

Associez $\frac{1}{x}$ et $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ .

$\frac{5}{x \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Étape 5

Associez $x$ et $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ .

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Réduisez l’expression $\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{\frac{x \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{x}}$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{1}}$

Étape 6.2

Divisez $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ par $1$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Étape 7

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Étape 8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $\frac{5}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ par $\frac{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{\sqrt{(x + 5) (x - 5)} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Étape 8.2

Élevez $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}$

Étape 8.3

Élevez $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1} {\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1}}$

Étape 8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{1 + 1}}$

Étape 8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}}$

Étape 8.6

Réécrivez ${\sqrt{(x + 5) (x - 5)}}^{2}$ comme $(x + 5) (x - 5)$ .

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Étape 8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(x + 5) (x - 5)}$ comme ${((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{({((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{{((x + 5) (x - 5))}^{1}}$

Étape 8.6.5

Simplifiez

$\frac{5 \sqrt{(x + 5) (x - 5)}}{(x + 5) (x - 5)}$