Trigonométrie Exemples

$\cos (x) = - \sin (- x)$

Étape 1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1

Simplifiez $- \sin (- x)$ .

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Étape 1.1.1

Comme $\sin (- x)$ est une fonction impaire, réécrivez $\sin (- x)$ comme $- \sin (x)$ .

$\cos (x) = - - \sin (x)$

Étape 1.1.2

Multipliez $- - \sin (x)$ .

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Étape 1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) = 1 \sin (x)$

Étape 1.1.2.2

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$\cos (x) = \sin (x)$

Étape 2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Réécrivez l’expression.

$1 = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 = \tan (x)$

Étape 5

Réécrivez l’équation comme $\tan (x) = 1$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 6

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 8

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 9

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 9.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 9.2

Associez les fractions.

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Étape 9.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 9.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 9.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 9.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 10

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 10.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 10.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 10.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 10.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 11

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$