Trigonométrie Exemples

$\cos (a) < \sin (a)$

Étape 1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (a)$ .

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Étape 2

Annulez le facteur commun de $\cos (a)$ .

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Étape 2.2

Réécrivez l’expression.

$1 < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Étape 3

Convertissez de $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ à $\tan (a)$ .

$1 < \tan (a)$

Étape 4

Réécrivez de sorte que $\tan (a)$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$\tan (a) > 1$

Étape 5

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $a$ de l’intérieur de la tangente.

$a > \arctan (1)$

Étape 6

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$a > \frac{π}{4}$

Étape 7

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$a = π + \frac{π}{4}$

Étape 8

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 8.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 8.2

Associez les fractions.

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Étape 8.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 8.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 8.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 8.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$a = \frac{5 π}{4}$

Étape 9

Déterminez la période de $\tan (a)$ .

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Étape 9.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 9.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 9.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 9.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 10

La période de la fonction $\tan (a)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$a = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 11

Consolidez les réponses.

$a = \frac{π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 12

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$

Étape 13

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 13.1

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 13.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$a = 2$

Étape 13.1.2

Remplacez $a$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\cos (2) < \sin (2)$

Étape 13.1.3

Le côté gauche $- 0.41614683$ est inférieur au côté droit $0.90929742$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 13.2

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ Vrai

Étape 14

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{π}{4} + π n < a < \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 15