Trigonométrie Exemples

$\csc^{5} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Étape 1

Factorisez $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{5} (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $- 4 \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4 = 0$

Étape 1.1.3

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4$ .

$\csc (x) (\csc^{4} (x) - 4) = 0$

Étape 1.2

Réécrivez $\csc^{4} (x)$ comme ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 4) = 0$

Étape 1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.4

Factorisez.

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Étape 1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \csc^{2} (x)$ et $b = 2$ .

$\csc (x) ((\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2)) = 0$

Étape 1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc^{2} (x) + 2 = 0$

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Étape 3

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $\csc (x)$ égal à $0$ .

$\csc (x) = 0$

Étape 3.2

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 4

Définissez $\csc^{2} (x) - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\csc^{2} (x) - 2$ égal à $0$ .

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\csc^{2} (x) - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\csc^{2} (x) = 2$

Étape 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Étape 4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Étape 4.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Étape 4.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 4.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Étape 4.2.5

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = \sqrt{2}$ .

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Étape 4.2.5.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.5.2.1

La valeur exacte de $arccsc (\sqrt{2})$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5.3

La fonction cosécante est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5.4

Simplifiez $π - \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.2.5.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.5.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 4.2.5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.5.4.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 4.2.5.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 4.2.5.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 4.2.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.5.6

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.6

Résolvez $x$ dans $\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.2.6.1

Prenez la cosécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la cosécante.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.6.2.1

La valeur exacte de $arccsc (- \sqrt{2})$ est $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Étape 4.2.6.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 4.2.6.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Étape 4.2.6.4.2

L’angle résultant de $\frac{5 π}{4}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.6.5

Déterminez la période de $\csc (x)$ .

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Étape 4.2.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 4.2.6.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Étape 4.2.6.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.6.3

Associez les fractions.

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Étape 4.2.6.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 4.2.6.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 4.2.6.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.6.6.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Étape 4.2.6.6.4.2

Soustrayez $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 4.2.6.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{7 π}{4}$

Étape 4.2.6.7

La période de la fonction $\csc (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.2.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$