Trigonométrie Exemples

$3 x^{2} + 8 x - 16 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$3 x^{2} + 8 x - 16 = 0$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 16 = - 48$ et dont la somme est $b = 8$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$3 x^{2} + 8 (x) - 16 = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $8$ comme $- 4$ plus $12$

$3 x^{2} + (- 4 + 12) x - 16 = 0$

Étape 2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 4 x + 12 x - 16 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 4 x) + 12 x - 16 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 4) + 4 (3 x - 4) = 0$

Étape 2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$(3 x - 4) (x + 4) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 4

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $3 x - 4$ égal à $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $3 x - 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 4$

Étape 4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 4$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Étape 4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Étape 5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 4) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = \frac{4}{3}, - 4$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(- 6)}^{2} + 8 (- 6) - 16 > 0$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $44$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(0)}^{2} + 8 (0) - 16 > 0$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $- 16$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{4}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$3 {(4)}^{2} + 8 (4) - 16 > 0$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $64$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < \frac{4}{3}$ Faux

$x > \frac{4}{3}$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < \frac{4}{3}$ Faux

$x > \frac{4}{3}$ Vrai

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $x > \frac{4}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 4 or x > \frac{4}{3}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Étape 11