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Trigonométrie Exemples
Étape 1
Étape 1.1
Pour un polynôme de la forme , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est et dont la somme est .
Étape 1.1.1
Factorisez à partir de .
Étape 1.1.2
Réécrivez comme plus
Étape 1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 1.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 1.2.1
Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.
Étape 1.2.2
Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.
Étape 1.3
Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, .
Étape 2
Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à , l’expression entière sera égale à .
Étape 3
Étape 3.1
Définissez égal à .
Étape 3.2
Résolvez pour .
Étape 3.2.1
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 3.2.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 3.2.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.2.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.2.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.2.3
Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire de l’intérieur du cosinus.
Étape 3.2.4
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.4.1
La valeur exacte de est .
Étape 3.2.5
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 3.2.5.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.2.5.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.2.5.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.5.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.5.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.2.5.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.5.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 3.2.5.3.2
Multipliez .
Étape 3.2.5.3.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.5.3.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.6
La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.
Étape 3.2.7
Résolvez .
Étape 3.2.7.1
Simplifiez
Étape 3.2.7.1.1
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.2.7.1.2
Associez et .
Étape 3.2.7.1.3
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.2.7.1.4
Multipliez par .
Étape 3.2.7.1.5
Soustrayez de .
Étape 3.2.7.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 3.2.7.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 3.2.7.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 3.2.7.2.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 3.2.7.2.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 3.2.7.2.2.1.2
Divisez par .
Étape 3.2.7.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 3.2.7.2.3.1
Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.
Étape 3.2.7.2.3.2
Multipliez .
Étape 3.2.7.2.3.2.1
Multipliez par .
Étape 3.2.7.2.3.2.2
Multipliez par .
Étape 3.2.8
Déterminez la période de .
Étape 3.2.8.1
La période de la fonction peut être calculée en utilisant .
Étape 3.2.8.2
Remplacez par dans la formule pour la période.
Étape 3.2.8.3
La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre et est .
Étape 3.2.9
La période de la fonction est si bien que les valeurs se répètent tous les radians dans les deux sens.
, pour tout entier
, pour tout entier
, pour tout entier
Étape 4
Étape 4.1
Définissez égal à .
Étape 4.2
Résolvez pour .
Étape 4.2.1
Soustrayez des deux côtés de l’équation.
Étape 4.2.2
La plage du cosinus est . Comme n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.
Aucune solution
Aucune solution
Aucune solution
Étape 5
La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent vraie.
, pour tout entier
Étape 6
Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.
Étape 7
Étape 7.1
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Étape 7.1.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 7.1.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 7.1.3
Le côté gauche est inférieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.
True
True
Étape 7.2
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Étape 7.2.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 7.2.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 7.2.3
Le côté gauche n’est pas inférieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.
False
False
Étape 7.3
Testez une valeur sur l’intervalle pour voir si elle rend vraie l’inégalité.
Étape 7.3.1
Choisissez une valeur sur l’intervalle et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.
Étape 7.3.2
Remplacez par dans l’inégalité d’origine.
Étape 7.3.3
Le côté gauche est inférieur au côté droit , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.
True
True
Étape 7.4
Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.
Vrai
Faux
Vrai
Vrai
Faux
Vrai
Étape 8
La solution se compose de tous les intervalles vrais.
ou , pour tout entier
Étape 9