Trigonométrie Exemples

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 = \sin (4 x)$

Étape 1

Soustrayez $\sin (4 x)$ des deux côtés de l’équation.

$2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x) = 0$

Étape 2

Simplifiez $2 \cos^{2} (2 x) - 1 - \sin (4 x)$ .

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Étape 2.1

Appliquez l’identité d’angle double du cosinus.

$\cos (2 (2 x)) - \sin (4 x) = 0$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\cos (4 x) - \sin (4 x) = 0$

Étape 3

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (4 x)$ .

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Étape 4

Annulez le facteur commun de $\cos (4 x)$ .

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (4 x)}{\cos (4 x)} + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{- \sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Étape 5

Séparez les fractions.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Étape 6

Convertissez de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ à $\tan (4 x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Étape 7

Divisez $- 1$ par $1$ .

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{\cos (4 x)}$

Étape 8

Séparez les fractions.

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)}$

Étape 9

Convertissez de $\frac{1}{\cos (4 x)}$ à $\sec (4 x)$ .

$1 - \tan (4 x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (4 x)$

Étape 10

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - \tan (4 x) = 0 \sec (4 x)$

Étape 11

Multipliez $0$ par $\sec (4 x)$ .

$1 - \tan (4 x) = 0$

Étape 12

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \tan (4 x) = - 1$

Étape 13

Divisez chaque terme dans $- \tan (4 x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 13.1

Divisez chaque terme dans $- \tan (4 x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \tan (4 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\tan (4 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 13.2.2

Divisez $\tan (4 x)$ par $1$ .

$\tan (4 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 13.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\tan (4 x) = 1$

Étape 14

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$4 x = \arctan (1)$

Étape 15

Simplifiez le côté droit.

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Étape 15.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$4 x = \frac{π}{4}$

Étape 16

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{4}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 16.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{π}{4}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 16.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 16.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 16.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{4}$

Étape 16.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 16.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 16.3.2

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 16.3.2.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Étape 16.3.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{π}{16}$

Étape 17

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$4 x = π + \frac{π}{4}$

Étape 18

Résolvez $x$ .

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Étape 18.1

Simplifiez

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Étape 18.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$4 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 18.1.2

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 18.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 18.1.4

Additionnez $π \cdot 4$ et $π$ .

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Étape 18.1.4.1

Remettez dans l’ordre $π$ et $4$ .

$4 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 18.1.4.2

Additionnez $4 \cdot π$ et $π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Étape 18.2

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 18.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 18.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 18.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 18.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 18.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{4}$

Étape 18.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 18.2.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 18.2.3.2

Multipliez $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 18.2.3.2.1

Multipliez $\frac{5 π}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 4}$

Étape 18.2.3.2.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$x = \frac{5 π}{16}$

Étape 19

Déterminez la période de $\tan (4 x)$ .

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Étape 19.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 19.2

Remplacez $b$ par $4$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 4 |}$

Étape 19.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 20

La période de la fonction $\tan (4 x)$ est $\frac{π}{4}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{π}{4}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{16} + \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$

Étape 21

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{16} + \frac{π n}{4}$ , pour tout entier $n$