Trigonométrie Exemples

$2 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 1

Remplacez le $2 \sin^{2} (x)$ par $2 (1 - \cos^{2} (x))$ d’après l’identité $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Étape 3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Étape 4

Remplacez $\cos (x)$ par $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Étape 5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6

Remplacez les valeurs $a = - 2$ , $b = - 6$ et $c = 3$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 3)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 2 \cdot 3$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $8$ par $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.3

Additionnez $36$ et $24$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot - 2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{- 2}$

Étape 7.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Étape 9

Remplacez $u$ par $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Étape 10

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Étape 11

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ .

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Étape 11.1

La plage du cosinus est $- 1 \leq y \leq 1$ . Comme $- \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 12

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$ .

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Étape 12.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$

Étape 12.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$ .

$x = 1.11910076$

Étape 12.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Étape 12.4

Résolvez $x$ .

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Étape 12.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Étape 12.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.11910076$ .

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Étape 12.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.11910076$

Étape 12.4.2.2

Soustrayez $1.11910076$ de $6.2831853$ .

$x = 5.16408454$

Étape 12.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 12.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 12.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 12.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 12.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 12.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 13

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , pour tout entier $n$