Trigonométrie Exemples

\sin (2 x) = \cos (x)

$\sin (2 x) = \cos (x)$

Étape 1

Soustrayez

\cos (x)

$\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

\sin (2 x) - \cos (x) = 0

$\sin (2 x) - \cos (x) = 0$

Étape 2

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Étape 3

Factorisez

\cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$ .

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Étape 3.1

Factorisez

\cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

\cos (x) (2 \sin (x)) - \cos (x) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \cos (x) = 0$

Étape 3.2

Factorisez

\cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

- \cos (x)

$- \cos (x)$ .

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1 = 0

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Étape 3.3

Factorisez

\cos (x)

$\cos (x)$ à partir de

\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Étape 4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à

0

$0$ , l’expression entière sera égale à

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 5

Définissez

\cos (x)

$\cos (x)$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 5.1

Définissez

\cos (x)

$\cos (x)$ égal à

0

$0$ .

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du cosinus.

x = \arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de

\arccos (0)

$\arccos (0)$ est

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

2 π

$2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire

2 π

$2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.2.1

Associez

2 π

$2 π$ et

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez

2

$2$ par

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez

π

$π$ de

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de

\cos (x)

$\cos (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction

\cos (x)

$\cos (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 6

Définissez

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ égal à

0

$0$ et résolvez

x

$x$ .

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Étape 6.1

Définissez

2 \sin (x) - 1

$2 \sin (x) - 1$ égal à

0

$0$ .

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Étape 6.2

Résolvez

2 \sin (x) - 1 = 0

$2 \sin (x) - 1 = 0$ pour

x

$x$ .

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Étape 6.2.1

Ajoutez

1

$1$ aux deux côtés de l’équation.

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ par

2

$2$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans

2 \sin (x) = 1

$2 \sin (x) = 1$ par

2

$2$ .

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de

2

$2$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez

\sin (x)

$\sin (x)$ par

1

$1$ .

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

\sin (x) = \frac{1}{2}

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Étape 6.2.3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire

x

$x$ de l’intérieur du sinus.

x = \arcsin (\frac{1}{2})

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.4

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.4.1

La valeur exacte de

\arcsin (\frac{1}{2})

$\arcsin (\frac{1}{2})$ est

\frac{π}{6}

$\frac{π}{6}$ .

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

x = \frac{π}{6}

$x = \frac{π}{6}$

Étape 6.2.5

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de

π

$π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

x = π - \frac{π}{6}

$x = π - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6

Simplifiez

π - \frac{π}{6}

$π - \frac{π}{6}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.1

Pour écrire

π

$π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.2.1

Associez

π

$π$ et

\frac{6}{6}

$\frac{6}{6}$ .

x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 6.2.6.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Étape 6.2.6.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.6.3.1

Déplacez

6

$6$ à gauche de

π

$π$ .

x = \frac{6 \cdot π - π}{6}

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Étape 6.2.6.3.2

Soustrayez

π

$π$ de

6 π

$6 π$ .

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

x = \frac{5 π}{6}

$x = \frac{5 π}{6}$

Étape 6.2.7

Déterminez la période de

\sin (x)

$\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.2

Remplacez

b

$b$ par

1

$1$ dans la formule pour la période.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre

0

$0$ et

1

$1$ est

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.4

Divisez

2 π

$2 π$ par

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Étape 6.2.8

La période de la fonction

\sin (x)

$\sin (x)$ est

2 π

$2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les

2 π

$2 π$ radians dans les deux sens.

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent

\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0

$\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$ vraie.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$

Étape 8

Consolidez

\frac{π}{2} + 2 π n

$\frac{π}{2} + 2 π n$ et

\frac{3 π}{2} + 2 π n

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en

\frac{π}{2} + π n

$\frac{π}{2} + π n$ .

x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier

n

$n$