Trigonométrie Exemples

$\arcsin (\sqrt{1 - \frac{2}{y + 1}}) = x$

Étape 1

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$\sqrt{1 - \frac{2}{y + 1}} = \sin (x)$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{1 - \frac{2}{y + 1}}}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 - \frac{2}{y + 1}}$ comme ${(1 - \frac{2}{y + 1})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 - \frac{2}{y + 1})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = \sin^{2} (x)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(1 - \frac{2}{y + 1})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 - \frac{2}{y + 1})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 - \frac{2}{y + 1})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (x)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 - \frac{2}{y + 1})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \sin^{2} (x)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 - \frac{2}{y + 1})}^{1} = \sin^{2} (x)$

Étape 3.2.1.2

Simplifiez

$1 - \frac{2}{y + 1} = \sin^{2} (x)$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{2}{y + 1} = \sin^{2} (x) - 1$

Étape 4.1.2

Remettez dans l’ordre $\sin^{2} (x)$ et $- 1$ .

$- \frac{2}{y + 1} = - 1 + \sin^{2} (x)$

Étape 4.1.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$- \frac{2}{y + 1} = - 1 (1) + \sin^{2} (x)$

Étape 4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\sin^{2} (x)$ .

$- \frac{2}{y + 1} = - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$

Étape 4.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$- \frac{2}{y + 1} = - 1 (1 - \sin^{2} (x))$

Étape 4.1.6

Réécrivez $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ comme $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$- \frac{2}{y + 1} = - (1 - \sin^{2} (x))$

Étape 4.1.7

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$- \frac{2}{y + 1} = - \cos^{2} (x)$

Étape 4.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 4.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y + 1, 1$

Étape 4.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y + 1, 1$

Étape 4.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y + 1$

Étape 4.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{2}{y + 1} = - \cos^{2} (x)$ par $y + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{2}{y + 1} = - \cos^{2} (x)$ par $y + 1$ .

$- \frac{2}{y + 1} (y + 1) = - \cos^{2} (x) (y + 1)$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{y + 1}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{y + 1} (y + 1) = - \cos^{2} (x) (y + 1)$

Étape 4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{y + 1} (y + 1) = - \cos^{2} (x) (y + 1)$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 = - \cos^{2} (x) (y + 1)$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = - \cos^{2} (x) y - \cos^{2} (x) \cdot 1$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 = - \cos^{2} (x) y - \cos^{2} (x)$

Étape 4.3.3.2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \cos^{2} (x) y - \cos^{2} (x)$ .

$- 2 = - y \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)$

Étape 4.4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.4.1

Réécrivez l’équation comme $- y \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = - 2$ .

$- y \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = - 2$

Étape 4.4.2

Ajoutez $\cos^{2} (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$- y \cos^{2} (x) = - 2 + \cos^{2} (x)$

Étape 4.4.3

Divisez chaque terme dans $- y \cos^{2} (x) = - 2 + \cos^{2} (x)$ par $- \cos^{2} (x)$ et simplifiez.

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Étape 4.4.3.1

Divisez chaque terme dans $- y \cos^{2} (x) = - 2 + \cos^{2} (x)$ par $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- y \cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)} = \frac{- 2}{- \cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- 2}{- \cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.4.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{- 2}{- \cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{- \cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.4.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.3.3.1.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{- 2}{- (\cos^{2} (x) \cdot 1)} + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.3.1.2

Séparez les fractions.

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.3.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$y = \frac{- 2}{- 1 \cdot (1)} \sec^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 1} \sec^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.3.1.5

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$y = 2 \sec^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.3.1.6

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 4.4.3.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 \sec^{2} (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{- \cos^{2} (x)}$

Étape 4.4.3.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 \sec^{2} (x) + \frac{1}{- 1}$

Étape 4.4.3.3.1.6.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$y = 2 \sec^{2} (x) - 1 \cdot 1$

Étape 4.4.3.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = 2 \sec^{2} (x) - 1$