Trigonométrie Exemples

${(- \sqrt{3} - i)}^{4}$

Étape 1

Utilisez le théorème du binôme.

${(- \sqrt{3})}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

${(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 {\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.3

Multipliez ${\sqrt{3}}^{4}$ par $1$ .

${\sqrt{3}}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{4}$ comme $3^{2}$ .

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Étape 2.1.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$3^{\frac{4}{2}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.1.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3^{\frac{2}{1}} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$3^{2} + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$9 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) (- i) + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.7

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.7.1

Déplacez $- 1$ .

$9 + 4 (- {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ .

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Étape 2.1.7.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.7.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9 + 4 ({(- 1)}^{1 + 3} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.7.3

Additionnez $1$ et $3$ .

$9 + 4 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.8

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$9 + 4 (1 {\sqrt{3}}^{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.9

Multipliez ${\sqrt{3}}^{3}$ par $1$ .

$9 + 4 {\sqrt{3}}^{3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.10

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{3}$ comme $\sqrt{3^{3}}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{3}} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.11

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$9 + 4 \sqrt{27} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.12

Réécrivez $27$ comme $3^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.1.12.1

Factorisez $9$ à partir de $27$ .

$9 + 4 \sqrt{9 (3)} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.12.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$9 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$9 + 4 (3 \sqrt{3}) i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.14

Multipliez $3$ par $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.15

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{3}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.16

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.17

Multipliez ${\sqrt{3}}^{2}$ par $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {\sqrt{3}}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.18

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.18.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.18.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.18.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.18.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.18.4.1

Annulez le facteur commun.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.18.4.2

Réécrivez l’expression.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3^{1} {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.18.5

Évaluez l’exposant.

$9 + 12 \sqrt{3} i + 6 \cdot 3 {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.19

Multipliez $6$ par $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 {(- i)}^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.20

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.21

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 (1 i^{2}) + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.22

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 i^{2} + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.23

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i + 18 \cdot - 1 + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.24

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 + 4 (- \sqrt{3}) {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.25

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} {(- i)}^{3} + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.26

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} ({(- 1)}^{3} i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.27

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- i^{3}) + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.28

Factorisez $i^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- (i^{2} \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.29

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- (- 1 \cdot i)) + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.30

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (- - i) + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.31

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} (1 i) + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.32

Multipliez $i$ par $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- i)}^{4}$

Étape 2.1.33

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{4} i^{4}$

Étape 2.1.34

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1 i^{4}$

Étape 2.1.35

Multipliez $i^{4}$ par $1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + i^{4}$

Étape 2.1.36

Réécrivez $i^{4}$ comme $1$ .

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Étape 2.1.36.1

Réécrivez $i^{4}$ comme ${(i^{2})}^{2}$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2}$

Étape 2.1.36.2

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.36.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 + 12 \sqrt{3} i - 18 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Étape 2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $18$ de $9$ .

$12 \sqrt{3} i - 9 - 4 \sqrt{3} i + 1$

Étape 2.2.2

Soustrayez $4 \sqrt{3} i$ de $12 \sqrt{3} i$ .

$8 \sqrt{3} i - 9 + 1$

Étape 2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.3.1

Additionnez $- 9$ et $1$ .

$8 \sqrt{3} i - 8$

Étape 2.2.3.2

Remettez dans l’ordre $8 \sqrt{3} i$ et $- 8$ .

$- 8 + 8 \sqrt{3} i$