Trigonométrie Exemples

$\cos (\arctan (\frac{x}{2}))$

Étape 1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $\arctan (\frac{x}{2})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \frac{x}{2})$ . Ainsi, $\cos (\arctan (\frac{x}{2}))$ est $\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}}}$

Étape 2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}}}$

Étape 2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}}}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}}}$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{4 + x^{2}}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ .

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Étape 2.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $4 + x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}}}$

Étape 2.5.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}}}$

Étape 2.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})}}$

Étape 2.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Étape 2.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2}}$

Étape 3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Étape 4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Étape 5

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$

Étape 6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}}}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{\sqrt{4 + x^{2}} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Étape 6.2

Élevez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} \sqrt{4 + x^{2}}}$

Étape 6.3

Élevez $\sqrt{4 + x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{4 + x^{2}}}^{1}}$

Étape 6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{1 + 1}}$

Étape 6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}}$

Étape 6.6

Réécrivez ${\sqrt{4 + x^{2}}}^{2}$ comme $4 + x^{2}$ .

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Étape 6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 + x^{2}}$ comme ${(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{({(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{{(4 + x^{2})}^{1}}$

Étape 6.6.5

Simplifiez

$\frac{2 \sqrt{4 + x^{2}}}{4 + x^{2}}$