Trigonométrie Exemples

$\cot (- \frac{5 π}{12})$

Étape 1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cot (\frac{19 π}{12})$

Étape 2

La valeur exacte de $\cot (\frac{19 π}{12})$ est $- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{19 π}{12}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cot (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})$

Étape 2.2

Appliquez l’identité réciproque.

$\frac{1}{\tan (\frac{\frac{19 π}{6}}{2})}$

Étape 2.3

Appliquez l’identité de demi-angle de la tangente.

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.4

Change the $\pm$ to $-$ because cotangent is negative in the fourth quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{19 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.2.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.2.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.2.4

Multipliez $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{2}$ par $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.2.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{19 π}{6})}}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}}}$

Étape 2.5.3.2

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{6})}}}$

Étape 2.5.3.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$

Étape 2.5.3.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}}}$

Étape 2.5.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}$

Étape 2.5.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{3}}}}$

Étape 2.5.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{1}{2 - \sqrt{3}}}}$

Étape 2.5.4.3

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (\frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}})}}$

Étape 2.5.4.4

Multipliez $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ par $\frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}}$

Étape 2.5.4.5

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{4 + 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}}$

Étape 2.5.4.6

Simplifiez

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) \frac{2 + \sqrt{3}}{1}}}$

Étape 2.5.4.7

Divisez $2 + \sqrt{3}$ par $1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})}}$

Étape 2.5.4.8

Développez $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.4.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{\sqrt{2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}$

Étape 2.5.4.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})}}$

Étape 2.5.4.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Étape 2.5.4.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.4.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.4.9.1.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Étape 2.5.4.9.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}}$

Étape 2.5.4.9.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}}$

Étape 2.5.4.9.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9}}}$

Étape 2.5.4.9.1.5

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}}$

Étape 2.5.4.9.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3}}$

Étape 2.5.4.9.2

Additionnez $4$ et $3$ .

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}}$

Étape 2.5.4.9.3

Additionnez $2 \sqrt{3}$ et $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{\sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}}$

Forme décimale :

$- 0.26794919 \dots$