Trigonométrie Exemples

$\sin (\arctan (- 1) + \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$\sin (- \frac{π}{4} + \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Étape 1.2

La valeur exacte de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{6}$ .

$\sin (- \frac{π}{4} + \frac{π}{6})$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{π}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\sin (- \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6})$

Étape 3

Pour écrire $\frac{π}{6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sin (- \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{6} \cdot \frac{2}{2})$

Étape 4.3

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 2}{6 \cdot 2})$

Étape 4.4

Multipliez $6$ par $2$ .

$\sin (- \frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 2}{12})$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sin (\frac{- π \cdot 3 + π \cdot 2}{12})$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\sin (\frac{- 3 π + π \cdot 2}{12})$

Étape 6.2

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\sin (\frac{- 3 π + 2 \cdot π}{12})$

Étape 6.3

Additionnez $- 3 π$ et $2 π$ .

$\sin (\frac{- π}{12})$

Étape 7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (- \frac{π}{12})$

Étape 8

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (\frac{23 π}{12})$

Étape 9

La valeur exacte de $\sin (\frac{23 π}{12})$ est $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Étape 9.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sin (\frac{π}{12})$

Étape 9.2

Divisez $\frac{π}{12}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Étape 9.3

Appliquez l’identité de différence d’angles.

$- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 9.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 9.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 9.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Étape 9.7

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{6})$ est $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 9.8

Simplifiez $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Étape 9.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.8.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 9.8.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2}}{2}$ par $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 9.8.1.1.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 9.8.1.1.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 9.8.1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Étape 9.8.1.2

Multipliez $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 9.8.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Étape 9.8.1.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Étape 9.8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Forme décimale :

$- 0.25881904 \dots$