Trigonométrie Exemples

$\sin (x) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (x) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(7)}^{2} - {(\sqrt{7})}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{49 - {(\sqrt{7})}^{2}}$

Étape 4.2

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

Adjacent $= \sqrt{49 - {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Adjacent $= \sqrt{49 - 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

Adjacent $= \sqrt{49 - 7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Annulez le facteur commun.

Adjacent $= \sqrt{49 - 7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.2.4.2

Réécrivez l’expression.

Adjacent $= \sqrt{49 - 7}$

Étape 4.2.5

Évaluez l’exposant.

Adjacent $= \sqrt{49 - 1 \cdot 7}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $7$ .

Adjacent $= \sqrt{49 - 7}$

Étape 4.4

Soustrayez $7$ de $49$ .

Adjacent $= \sqrt{42}$

Étape 5

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 5.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 5.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{42}}{7}$

Étape 6

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 6.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{42}}$

Étape 6.3

Simplifiez la valeur de $\tan (x)$ .

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Étape 6.3.1

Associez $\sqrt{7}$ et $\sqrt{42}$ en un radical unique.

$\tan (x) = \sqrt{\frac{7}{42}}$

Étape 6.3.2

Annulez le facteur commun à $7$ et $42$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$\tan (x) = \sqrt{\frac{7 (1)}{42}}$

Étape 6.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $42$ .

$\tan (x) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 6}}$

Étape 6.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \sqrt{\frac{7 \cdot 1}{7 \cdot 6}}$

Étape 6.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \sqrt{\frac{1}{6}}$

Étape 6.3.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{6}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{6}}$

Étape 6.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Étape 6.3.5

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (x) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Étape 6.3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.6.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{6}}$ par $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 6.3.6.2

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 6.3.6.3

Élevez $\sqrt{6}$ à la puissance $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Étape 6.3.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Étape 6.3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Étape 6.3.6.6

Réécrivez ${\sqrt{6}}^{2}$ comme $6$ .

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Étape 6.3.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6}$ comme $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 6.3.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 6.3.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Étape 6.3.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Étape 6.3.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.3

Simplifiez la valeur de $\cot (x)$ .

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Étape 7.3.1

Associez $\sqrt{42}$ et $\sqrt{7}$ en un radical unique.

$\cot (x) = \sqrt{\frac{42}{7}}$

Étape 7.3.2

Divisez $42$ par $7$ .

$\cot (x) = \sqrt{6}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{7}{\sqrt{42}}$

Étape 8.3

Simplifiez la valeur de $\sec (x)$ .

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Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{42}}$ par $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\sec (x) = \frac{7}{\sqrt{42}} \cdot \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$

Étape 8.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{42}}$ par $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{42}}$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Étape 8.3.2.2

Élevez $\sqrt{42}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Étape 8.3.2.3

Élevez $\sqrt{42}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{\sqrt{42} \sqrt{42}}$

Étape 8.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{{\sqrt{42}}^{2}}$

Étape 8.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{42}}^{2}$ comme $42$ .

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Étape 8.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{42}$ comme $42^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{{(42^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{42^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{42^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{42}$

Étape 8.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{42}$

Étape 8.3.3

Annulez le facteur commun à $7$ et $42$ .

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Étape 8.3.3.1

Factorisez $7$ à partir de $7 \sqrt{42}$ .

$\sec (x) = \frac{7 (\sqrt{42})}{42}$

Étape 8.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.3.2.1

Factorisez $7$ à partir de $42$ .

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{7 \cdot 6}$

Étape 8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{42}}{7 \cdot 6}$

Étape 8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{42}}{6}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{7}{\sqrt{7}}$

Étape 9.3

Simplifiez la valeur de $\csc (x)$ .

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Étape 9.3.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\csc (x) = \frac{7}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 9.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $\frac{7}{\sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 9.3.2.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 9.3.2.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 9.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 9.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 9.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 9.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 9.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 9.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 9.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{7}$

Étape 9.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{7}$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 9.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{7 \sqrt{7}}{7}$

Étape 9.3.3.2

Divisez $\sqrt{7}$ par $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{7}$

Étape 10

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\cos (x) = \frac{\sqrt{42}}{7}$

$\tan (x) = \frac{\sqrt{6}}{6}$

$\cot (x) = \sqrt{6}$

$\sec (x) = \frac{\sqrt{42}}{6}$

$\csc (x) = \sqrt{7}$