Trigonométrie Exemples

$\sin (x) = \frac{12}{15}$

Étape 1

Utilisez la définition du sinus pour déterminer les côtés connus du triangle rectangle du cercle unité. Le quadrant détermine le signe sur chacune des valeurs.

$\sin (x) = \frac{opposé}{hypoténuse}$

Étape 2

Déterminez le côté adjacent du triangle du cercle unité. L’hypoténuse et le côté opposé étant connus, utilisez le théorème de Pythagore pour déterminer le côté restant.

$Adjacent = \sqrt{{hypoténuse}^{2} - {opposé}^{2}}$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans l’équation.

$Adjacent = \sqrt{{(15)}^{2} - {(12)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez à l’intérieur du radical.

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Étape 4.1

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{225 - {(12)}^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

Adjacent $= \sqrt{225 - 1 \cdot 144}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $144$ .

Adjacent $= \sqrt{225 - 144}$

Étape 4.4

Soustrayez $144$ de $225$ .

Adjacent $= \sqrt{81}$

Étape 4.5

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

Adjacent $= \sqrt{9^{2}}$

Étape 4.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

Adjacent $= 9$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $12$ et $15$ .

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Étape 5.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\sin (x) = \frac{3 (4)}{15}$

Étape 5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\sin (x) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

Étape 5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{4}{5}$

Étape 6

Déterminez la valeur du cosinus.

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Étape 6.1

Utilisez la définition du cosinus pour déterminer la valeur de $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{adj}{hyp}$

Étape 6.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cos (x) = \frac{9}{15}$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $15$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\cos (x) = \frac{3 (3)}{15}$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\cos (x) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cos (x) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5}$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

Étape 7

Déterminez la valeur de la tangente.

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Étape 7.1

Utilisez la définition de la tangente pour déterminer la valeur de $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{opp}{adj}$

Étape 7.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\tan (x) = \frac{12}{9}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $9$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\tan (x) = \frac{3 (4)}{9}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\tan (x) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (x) = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (x) = \frac{4}{3}$

Étape 8

Déterminez la valeur de la cotangente.

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Étape 8.1

Utilisez la définition de la cotangente pour déterminer la valeur de $\cot (x)$ .

$\cot (x) = \frac{adj}{opp}$

Étape 8.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\cot (x) = \frac{9}{12}$

Étape 8.3

Annulez le facteur commun à $9$ et $12$ .

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Étape 8.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\cot (x) = \frac{3 (3)}{12}$

Étape 8.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\cot (x) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Étape 8.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\cot (x) = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Étape 8.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\cot (x) = \frac{3}{4}$

Étape 9

Déterminez la valeur de la sécante.

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Étape 9.1

Utilisez la définition de la sécante pour déterminer la valeur de $\sec (x)$ .

$\sec (x) = \frac{hyp}{adj}$

Étape 9.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\sec (x) = \frac{15}{9}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $15$ et $9$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\sec (x) = \frac{3 (5)}{9}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\sec (x) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \frac{5}{3}$

Étape 10

Déterminez la valeur de la cosécante.

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Étape 10.1

Utilisez la définition de la cosécante pour déterminer la valeur de $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{hyp}{opp}$

Étape 10.2

Remplacez dans les valeurs connues.

$\csc (x) = \frac{15}{12}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $15$ et $12$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$\csc (x) = \frac{3 (5)}{12}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\csc (x) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\csc (x) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\csc (x) = \frac{5}{4}$

Étape 11

C’est la solution à chaque valeur trigonométrique.

$\sin (x) = \frac{4}{5}$

$\cos (x) = \frac{3}{5}$

$\tan (x) = \frac{4}{3}$

$\cot (x) = \frac{3}{4}$

$\sec (x) = \frac{5}{3}$

$\csc (x) = \frac{5}{4}$