Trigonométrie Exemples

$z = 2 + 4 i$

Étape 1

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 2

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 3

Remplacez les valeurs réelles de $a = 2$ et $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + 2^{2}}$

Étape 4

Déterminez $| z |$ .

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Étape 4.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 2^{2}}$

Étape 4.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 4}$

Étape 4.3

Additionnez $16$ et $4$ .

$| z | = \sqrt{20}$

Étape 4.4

Réécrivez $20$ comme $2^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$| z | = \sqrt{4 (5)}$

Étape 4.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Étape 4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$| z | = 2 \sqrt{5}$

Étape 5

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{4}{2})$

Étape 6

Comme la tangente inverse de $\frac{4}{2}$ produit un angle dans le premier quadrant, la valeur de l’angle est $1.10714871$ .

$θ = 1.10714871$

Étape 7

Remplacez les valeurs de $θ = 1.10714871$ et $| z | = 2 \sqrt{5}$ .

$2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$

Étape 8

Remplacez le côté droit de l’équation par la forme trigonométrique.

$z = 2 \sqrt{5} (\cos (1.10714871) + i \sin (1.10714871))$