Trigonométrie Exemples

$\sin (π x + (\frac{1}{6} \cdot π)) = 1$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$π x + \frac{1}{6} \cdot π = \arcsin (1)$

Étape 2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{6}$ et $π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \arcsin (1)$

Étape 3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1

La valeur exacte de $\arcsin (1)$ est $\frac{π}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Étape 4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$π x = \frac{π}{2} - \frac{π}{6}$

Étape 4.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π x = \frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$π x = \frac{3 \cdot π - π}{6}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$π x = \frac{2 π}{6}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$π x = \frac{2 (π)}{6}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$π x = \frac{π}{3}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{π}{3}$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{π}{3}$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 5.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 6

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$π x + \frac{π}{6} = π - \frac{π}{2}$

Étape 7

Résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Simplifiez $π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 7.1.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.1.2

Associez les fractions.

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Étape 7.1.2.1

Associez $π$ et $\frac{2}{2}$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 7.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 7.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Étape 7.1.3.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$π x + \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Étape 7.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $\frac{π}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$π x = \frac{π}{2} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.3.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$π x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{6}$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$π x = \frac{π \cdot 3 - π}{6}$

Étape 7.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.5.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$π x = \frac{3 \cdot π - π}{6}$

Étape 7.2.5.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$π x = \frac{2 π}{6}$

Étape 7.2.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 7.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$π x = \frac{2 (π)}{6}$

Étape 7.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$π x = \frac{2 π}{2 \cdot 3}$

Étape 7.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$π x = \frac{π}{3}$

Étape 7.3

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{π}{3}$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 7.3.1

Divisez chaque terme dans $π x = \frac{π}{3}$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Étape 7.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{π}$

Étape 7.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 7.3.3.2

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 7.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π}$

Étape 7.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{1}{3}$

Étape 8

Déterminez la période de $\sin (π x + \frac{1}{6} \cdot π)$ .

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Étape 8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 8.2

Remplacez $b$ par $π$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| π |}$

Étape 8.3

$π$ est d’environ $3.14159265$ qui est positif, alors retirez la valeur absolue

$\frac{2 π}{π}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{π}$

Étape 8.4.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 9

La période de la fonction $\sin (π x + \frac{1}{6} \cdot π)$ est $2$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{1}{3} + 2 n$ , pour tout entier $n$