Trigonométrie Exemples

$\sin (9 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$9 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$9 x = - \frac{π}{3}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $9 x = - \frac{π}{3}$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $9 x = - \frac{π}{3}$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{3}}{9}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 3.3.2

Multipliez $- \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{9 \cdot 3}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$x = - \frac{π}{27}$

Étape 4

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$9 x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 5

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$9 x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 5.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$9 x = \frac{4 π}{3}$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $9 x = \frac{4 π}{3}$ par $9$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $9 x = \frac{4 π}{3}$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{9}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{9}$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{9}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.2.1

Multipliez $\frac{4 π}{3}$ par $\frac{1}{9}$ .

$x = \frac{4 π}{3 \cdot 9}$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $9$ .

$x = \frac{4 π}{27}$

Étape 6

Déterminez la période de $\sin (9 x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2

Remplacez $b$ par $9$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 9 |}$

Étape 6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $9$ est $9$ .

$\frac{2 π}{9}$

Étape 7

Ajoutez $\frac{2 π}{9}$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Ajoutez $\frac{2 π}{9}$ à $- \frac{π}{27}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{27} + \frac{2 π}{9}$

Étape 7.2

Pour écrire $\frac{2 π}{9}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{27}$

Étape 7.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $27$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{2 π}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{π}{27}$

Étape 7.3.2

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{27} - \frac{π}{27}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{27}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{27}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{27}$

Étape 7.6

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{27}$

Étape 8

La période de la fonction $\sin (9 x)$ est $\frac{2 π}{9}$ si bien que les valeurs se répètent tous les $\frac{2 π}{9}$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{27} + \frac{2 π n}{9}, \frac{5 π}{27} + \frac{2 π n}{9}$ , pour tout entier $n$