Trigonométrie Exemples

$\sin (x) - \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)} = 0$

Étape 1

Soustrayez $\sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)} = - \sin (x)$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(- \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)}$ comme ${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- {(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${(- {(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- {(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 1)}^{2} {({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Multipliez ${({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ par $1$ .

${({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.2.1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{1} = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.2.1.5

Simplifiez

$3 - 3 \sin^{2} (x) = {(- \sin (x))}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- \sin (x))}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sin (x)$ .

$3 - 3 \sin^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (x)$

Étape 3.3.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$3 - 3 \sin^{2} (x) = 1 \sin^{2} (x)$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$3 - 3 \sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

Étape 4

Résolvez $\sin (x)$ .

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $\sin (x)$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Soustrayez $\sin^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$3 - 3 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Étape 4.1.2

Soustrayez $\sin^{2} (x)$ de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 4.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 4.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 5

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 6.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 6.4

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 6.4.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 7.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 7.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 7.4.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 7.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 7.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 7.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.6.3

Associez les fractions.

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Étape 7.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 7.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 7.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.6.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 7.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 7.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 7.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9

Consolidez les solutions.

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Étape 9.1

Consolidez $\frac{π}{3} + 2 π n$ et $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 9.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 10

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\sin (x) - \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)} = 0$ vrai.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$