Trigonométrie Exemples

$\sin (x) + \cot (x) \cos (x) = \sqrt{3}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Étape 1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sqrt{3}$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\sin (x)$ .

$\sin (x) (\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 4

Multipliez $\sin (x) \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 4.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 5

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 6

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$1 = \sin (x) \sqrt{3}$

Étape 7

Réécrivez l’équation comme $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ .

$\sin (x) \sqrt{3} = 1$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ par $\sqrt{3}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $\sin (x) \sqrt{3} = 1$ par $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sin (x) \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 8.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 8.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 8.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 8.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 8.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 8.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 8.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 8.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 8.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 9

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 10

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Évaluez $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{3})$ .

$x = 0.6154797$

Étape 11

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 12

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 3.14159265 - 0.6154797$

Étape 12.2

Supprimez les parenthèses.

$x = (3.14159265) - 0.6154797$

Étape 12.3

Soustrayez $0.6154797$ de $3.14159265$ .

$x = 2.52611294$

Étape 13

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 13.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 14

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 0.6154797 + 2 π n, 2.52611294 + 2 π n$ , pour tout entier $n$