Trigonométrie Exemples

$\sin (2 x) + \sin (4 x) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (4 x) = 0$

Étape 1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + \sin (2 (2 x)) = 0$

Étape 1.1.3

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) = 0$

Étape 1.1.5

Utilisez l’identité d’angle double pour transformer $\cos (2 x)$ en $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 1.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 1.1.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 1.1.8

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.8.1

Déplacez $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 1.1.8.2

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ .

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Étape 1.1.8.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 1.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 1.1.8.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 = 0$

Étape 1.1.9

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$2 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 1.2

Additionnez $2 \sin (x) \cos (x)$ et $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$6 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 2

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $6 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $6 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 2.3

Factorisez $2 \sin (x) \cos (x)$ à partir de $2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Étape 3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 5.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 5.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 5.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Définissez $3 - 4 \sin^{2} (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $3 - 4 \sin^{2} (x)$ égal à $0$ .

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Étape 6.2

Résolvez $3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

Étape 6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 6.2.2.2.1.2

Divisez $\sin^{2} (x)$ par $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Étape 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Étape 6.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Étape 6.2.4.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Étape 6.2.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.4.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 6.2.4.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.6

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 6.2.7

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.2.7.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6.2.7.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.7.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 6.2.7.3

$x = π - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.7.4

Simplifiez $π - \frac{π}{3}$ .

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Étape 6.2.7.4.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.7.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.2.7.4.2.1

Associez $π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.7.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.2.7.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.7.4.3.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Étape 6.2.7.4.3.2

Soustrayez $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Étape 6.2.7.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.7.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.7.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.7.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.7.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.7.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.8

Résolvez $x$ dans $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Étape 6.2.8.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 6.2.8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.8.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ est $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.8.3

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Étape 6.2.8.4

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 6.2.8.4.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Étape 6.2.8.4.2

L’angle résultant de $\frac{4 π}{3}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Étape 6.2.8.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 6.2.8.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.2.8.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.2.8.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.2.8.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.2.8.6

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 6.2.8.6.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{3}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Étape 6.2.8.6.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.8.6.3

Associez les fractions.

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Étape 6.2.8.6.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 6.2.8.6.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 6.2.8.6.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.8.6.4.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Étape 6.2.8.6.4.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Étape 6.2.8.6.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 6.2.8.7

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.9

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.10

Consolidez les solutions.

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Étape 6.2.10.1

Consolidez $\frac{π}{3} + 2 π n$ et $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6.2.10.2

Consolidez $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 \sin (x) \cos (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$ vraie.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les réponses.

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Étape 8.1

Consolidez $2 π n$ et $π + 2 π n$ en $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $\frac{π}{2} + 2 π n$ et $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.3

Consolidez $π n$ et $\frac{π}{2} + π n$ en $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , pour tout entier $n$